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高三数学期中复习阶段性测试题

[10-15 23:19:20]   来源:http://www.xiaozhibei.com  高三数学试题   阅读:9113

A.∀x∈R,2x-1>0  B.∃x∈R,sinx=2

C.∀x∈R,x2-x+1>0  D.∃x∈N,lgx=2

[答案] B

[解析] 对任意x∈R,总有|sinx|≤1,∴sinx=2无解,故选B.

12.(2011•辽宁大连期末)已知全集U=R,集合A={x|x=2n,n∈N}与B={x|x=2n,n∈N},则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是(  )

[答案] A

[解析] n=0时,20=1∈A,但1∉B,2×0=0∈B,但0∉A,又当n=1时,2∈A且2∈B,故选A.

[点评] 自然数集N中含有元素0要特别注意,本题极易因忽视0∈N导致错选C.

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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)

13.已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1且b≠3,则命题甲是命题乙的________条件.

[答案] 既不充分也不必要

[解析] 当a+b≠4时,可选取a=1,b=5,故此时a≠1且b≠3不成立(∵a=1).同样,a≠1且b≠3时,可选取a=2,b=2,此时a+b=4,因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.

[点评] 也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件.

14.方程x24-t+y2t-1=1表示曲线C,给出以下命题:

①曲线C不可能为圆;

②若1

③若曲线C为双曲线,则t<1或t>4;

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1

其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).

[答案] ③④

[解析] 显然当t=52时,曲线为x2+y2=32,方程表示一个圆;而当1

15.(文)函数f(x)=logax-x+2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是________.

[答案] a>1

[解析] 若函数f(x)=logax-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点,即函数y=logax的图象与直线y=x-2有两个交点,结合图象易知,此时a>1;当a>1时,函数f(x)=logax-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点,∴函数f(x)=logax-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点的充要条件是a>1.

(理)(2010•济南模拟)设p:4x+3y-12≥03-x≥0x+3y≤12,q:x2+y2>r2(x,y∈R,r>0),若p是q的充分不必要条件,则r的取值范围是________.

[答案] 0,125

[解析] 设A={(x,y)|4x+3y-12≥03-x≥0x+3y≤12},B={(x,y)|x2+y2>r2,x,y∈R,r>0},则集合A表示的区域为图中阴影部分,集合B表示以原点为圆心,以r为半径的圆的外部,设原点到直线4x+3y-12=0的距离为d,则d=|4×0+3×0-12|5=125,∵p是q的充分不必要条件,∴AB,则0

16.(2011•河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________.

①命题∀x∈R,x2+x+1>0的否定是:∃x∈R,x2+x+1<0.

②命题“若ab=0,则a=0,或b=0”的否命题是“若ab≠0,则a≠0且b≠0”.

③已知线性回归方程是y^=3+2x,则当自变量的值为2时,因变量的精确值为7.

④若a,b∈[0,1],则不等式a2+b2<14成立的概率是π4.

[答案] ②

[解析] ∀x∈R,x2+x+1>0的否定应为∃x∈R,x2+x+1≤0,故①错;对于线性回归方程y^=3+2x,当x=2时,y的估计值为7,故③错;对于0≤a≤1,0≤b≤1,满足a2+b2<14的概率为p=14×π×1221×1=π16,故④错,只有②正确.

三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)(文)(2011•重庆南开中学期末)已知函数f(x)=x+1x-2的定义域是集合A,函数g(x)=lg[x2-(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B.

(1)分别求集合A、B;

(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.

[解析] (1)A={x|x≤-1或x>2}

B={x|x

(2)由A∪B=B得A⊆B,因此a>-1a+1≤2

所以-1

(理)已知函数f(x)=6x+1-1的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.

(1)当m=3时,求A∩(∁RB);

(2)若A∩B={x|-1

[解析] 由6x+1-1≥0知,0

∴-1

(1)当m=3时,B={x|-1

则∁RB={x|x≤-1或x≥3}

∴A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}.

(2)A={x|-1

∴有-42+2•4+m=0,解得m=8.

此时B={x|-2

18.(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).”

(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;

(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

[解析] (1)逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,真命题.

用反证法证明:

设a+b<0,则a<-b,b<-a,

∵f(x)是R上的增函数,

∴f(a)

∴f(a)+f(b)

(2)逆否命题:若f(a)+f(b)

则a+b<0,为真命题.

由于互为逆否命题同真假,故只需证原命题为真.

∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a,

又∵f(x)在R上是增函数,

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),∴原命题真,故逆否命题为真.

(理)(2011•厦门双十中学月考)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.

(1)求证:“如果直线l过点(3,0),那么OA→•OB→=3”是真命题.

(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

[解析] (1)设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1•y2=-6,

OA→•OB→=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2

=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2

=-6t2+3t•2t+9-6=3.

∴OA→•OB→=3,故为真命题.

(2)(1)中命题的逆命题是:“若OA→•OB→=3,则直线l过点(3,0)”它是假命题.

设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1•y2=-2b.

∵OA→•OB→=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2

=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt•2t+b2-2b=b2-2b,

令b2-2b=3,得b=3或b=-1,

此时直线l过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题.

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