与“二元一次方程组”有关的典型应用题例析

习了二元一次方程组的解法后，我们将面临与二元一次方程组有关的实际问题的挑战.列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解应用题的步骤一样，要经历读题—审题(找相等关系)—设元—列方程(组)—解方程(组)—检验-作答这样几步，只是数量关系稍微复杂一些. 解题的关键仍然是审好题，找准题中的相等关系.下面通过一些与“二元一次方程组有关的典型例题的分析，帮助同学们找到一点解决实际问题的一般思路和方法.

一、“鸡兔同笼”问题

例1.一队敌兵一队狗，两队并成一队走. 人头狗头七十六，却有二百条腿走. 请你用心算一算，多少敌兵多少狗?

分析与解答：“鸡兔同笼”问题是一种古老又典型的数学趣题，在这种数学问题中常出现两种不同的动物. 这两种动物都只有一个头，主要区别在于腿的条数不一样，解答此类问题要紧紧抓住问题当中头和腿的总数来寻找相等关系列方程(组).我们知道一个人2条腿，一只狗4条腿，由题目提供的人和狗的总个数为76，腿的总条数为200，易找到相等关系.可设有x个敌兵，y条狗，可得方程组：

X=52

y=24

X+y=76

2X+4y=200

解方程组得：

所以有敌兵52个，狗24条.

二、“配套”问题

例2.一张方桌有一张桌面和四根桌腿组成，已知1立方米木料可以做桌面50个或桌腿300个，现有5立方米木料，能做方桌多少张?

X+y=5

4×50X=300y

分析与解答：解决“配套”问题的关键是首先弄清“怎样配套”，从而找到配套的各元素之间的数量关系，为列方程(组)找好相等关系. 由“一张方桌有一张桌面和四根桌腿组成”，可知要想配套，桌腿的总数应是桌面总数的4倍. 因此，应设x立方米的木料做桌面，y立方米的木料做桌腿，可列方程组：

X=3

y=2

解方程组得：

所以要用3立方米的木料做桌面，能做方桌3×50=150张.

三、“数字”问题

例3.一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小36，则原来的两位数是多少?

X=3

y=7

分析与解答：解答“数字”问题的关键要会用字母表示一个多位数. 比如x是一个两位数的个位上的数字，y是这个两位数的十位上的数字，这个两位数可表示为10y+x.若个位和十位上的数字交换位置，这个两位数应表示为10x+y.再比如a、b、c分别表示一个三位数的百、十、个位上的数字，则这个三位数表示为：100a+10b+c.若百位和个位上的数字交换一下，则新的三位数为：100c+10b+a.根据题意可设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，则方程组为：

X+y=10

10y+x-36=10x+y

解方程组得：

则原两位数是10×7+3=73.

四、“年龄”问题

例4.小明问叔叔多少岁了，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了.”则小明和叔叔的岁数分别是多少?

分析与解答：解决“年龄”问题一定要注意，不管怎样发展变化，两个人年龄的差值不会发生变化，所以解答此类问题时要紧紧抓住两个人的年龄差来寻找等量关系.由题意可设小明和叔叔现在的年龄分别为x、y岁，则两人的年龄差值为(y-x)岁，所以可得方程组：

X=16

y=28

X-4=y-x

40-y=y-x

解这个方程组得：

所以小明和叔叔的岁数分别是16岁和28岁.

五、“劳力配置”问题

例5. 某班同学参加运土劳动，一部分同学抬土，一部分同学挑土，全部同学共用土筐59个，扁担36根，求抬土和挑土的同学各有多少人?

分析与解答：由于现在学生缺少劳动的体验，对运土劳动没有感性认识，所以很难理解题目的意思.尤其不明白这项劳动中的人力和物力是怎样分配的.所以解答此题的关键是先要弄清活动中的人和物的分工和分配情况.具体情况如下表：

抬土

挑土

人力

2人一组

一人一组

物力

一根扁担，一个土筐

一根扁担，两个土筐

在弄清下表内容的基础上，题中的数量便清楚了.如下表所示：

抬土人数x(人)

挑土人数y(人)

扁担数

(根)

y (根)

土筐数

(个)

2y(个)

根据题意可得方程组：

解方程组得：

则抬土和挑土的同学分别有26人和23人.

六、“小孩分桃”问题

例6.将一些笔记本分给若干个同学，每人5本，则剩下8本;每人8本，又差7本，求共有几个同学多少个笔记本?

X=5

y=33

5X+8=y

8x-7=y

分析与解答：“小孩分桃”是个有趣的数学问题，解答此类问题时要注意不管怎样分，“桃”的总数是一定的.所以根据题可设有x个同学，y个笔记本，则方程组为：

解这个方程组得：

所以有5个同学33个笔记本.

七、“顺(逆)水”问题

例7.甲、乙两地相距80千米，一艘轮船从甲地出发顺水航行4小时到达乙地，而从乙地出发逆水航行需5小时到达甲地.求船在静水中的速度和水流的速度.

分析与解答：解决此类问题的关键是要弄清顺水(逆水)速度与船在静水中的速度和水流速度之间的关系：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度.可设船在静水中的速度和水流的速度分别为x千米/时、y千米/时，则方程组为：

X=18

y=2

4(x+y)=80

5(x-y)=80

解方程组得：

所以船在静水中的速度和水流的速度分别为18千米/时、2千米/时.

八、“火车过桥”问题

例8.某列火车通过450米的铁桥，从车头上桥到车尾下桥，共33秒，同一列火车以同样的速度穿过760米长的隧道时，整列火车都在隧道里的时间是22秒，问这列火车的长度和速度分别是多少?

33y=x+450

22y=760-x

分析与解答：解答此类问题的关键是要找准火车在不同情况下走过的路程与桥长和火车长的关系. “从车头上桥到车尾下桥” 火车走过的路程为：桥长+火车长; “整列火车都在隧道里” 火车走过的路程为：隧道长-火车长.由题意可设火车长为x米，火车的速度为y米/秒，则方程组为：

X=276

y=22

解方程组得：

所以火车长276米，速度为22米/秒.

九.“绳子测量”问题

例9.用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等分，每份绳长比井深多5尺;如果将绳子折成四等份，每份绳子比井深多1尺.问绳长和井深各是多少尺?

分析与解答：解决此类问题时要明确：不管怎样测，绳长和井深是不变的.可设绳长为x尺，井深y尺，则方程组为：

X=48

y=11

1/3 x-y=5

1/4 x-y=1

解方程组得：

所以绳长48尺，井深11尺.

十.“浓度配比”问题

例10.要用浓度分别为30%和70%的两种农药制剂，配制成浓度为60%的农药20千克，则需两种农药各多少千克?

分析与解答：“浓度配比”问题是一种比较抽象的数学问题，问题当中涉及的量摸不着，也看不见，所以理解起来比较困难. 初中阶段我们遇到的一般都是固体或者液体溶质的水溶液，水是溶剂. “浓度配比问题”是把浓度大小不同的两种溶液配成浓度居中的新溶液，配制的方法是直接把两种溶液放在一起，通过搅拌、振荡等手段使两种溶液均匀的混合在一起. 所以在配制的前后过程中，溶液中溶剂、溶质和溶液的总量都保持不变，只是溶液的浓度发生了变化.解决问题时可从这些不变量入手去建立相等关系和列方程.由此可设两种农药各有x、y千克，根据题意列方程组：

X=5

y=15

X+y=20

30%x+70%y=20×60%

解方程组得：

所以30%的农药需5千克，70%的农药需15千克.