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初一下册数学开放探索型问题

[10-15 23:24:09]   来源:http://www.xiaozhibei.com  初一数学试卷   阅读:9475

故EG=6,OG=10.

∴S△OEG= OG×EG= ×10×6=30.

方法2:在Rt△OCE中,∵tan∠OCE= ,∴sin∠OCE= .

∴OG=OCsin∠OCE= =10.

在Rt△OEG中,EG=OGtan∠OCE=10× =6,

∴S△OEG= OG×EG= ×10×6=30.

(3)①当点Q在AC上时,点Q即为点G,

如图1,作∠FOQ的平分线交CE于点P1,

由△OP1F≌△OP1Q,则有P1F⊥x轴,由于点P1在直线AC上,当x=10时,

y=- ×10+2 =2 -6.

∴点P1(10,2 -6).

②当点Q在AB上时,

如图2,有OQ=OF,作∠FOQ的角平分线交CE于点P2,

过点Q作QH⊥OB于点H,设OH=a,

则BH=QH=14-a,

在Rt△OQH中,a2+(14-a)2=100,

解得a1=6,a2=8.

∴Q(-6,8)或Q(-8,6),

当Q(-6,8)时,连接QF交OP2于点M,

则点M(2,4).

此时直线OM的函数解析式y=2x.

解得

∴点P2( , ).

当Q(-8,6)时,同理可求得P3( , ).

如图3,有QP4∥OF,QP4=OF=10,

设点P4的横坐标为x,则点Q的横坐标为(x-10).

∵yQ=yP,直线AB的函数解析式y=x+14.

∴(x-10)+14=- x+2 .

解得x= ,可得y= .

∴点P4( , ).

③当Q在BC边上时,如图4,OQ=OF=10,点P5在E点,

∴点P5(0,2 ).

综上所述,满足条件的点P的坐标为:

P1(10,2 -6),点P2( , ),P3( , ),P4( , ),P5(0,2 ).

【点评】:本题是一道综合性大题,要注意灵活应用所有的知识点,另外在考虑问题时要全面,不要丢解.第(3)小题中,共四种情况,易出现丢解现象.

25. (2012广州市,16, 3分)(本小题满分10分)如图10,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC= ( )

(1)当 =60°时,求CE的长;

(2)当 时,①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。

②连接CF,当 取最大时,求tan∠DCF的值。

【解析】(2)可以按照k等于1、2、3等正整数时,把∠EFD分为几等分,从而确定k的值是否存在。(3)找出变量BE,找出 的关于自变量的函数关系式,计算出 取得最大值时,得到自变量BE的值,计算tan∠DCF的值。

【答案】解:(1)如果∠ABC=60°,在Rt△ABC中,CE=BCsin60°=10 =5

(2)①取BC的中点G,连接FG,CF,则AF=BG=DF=CG

∵AF∥BG,FD∥CG

∴四边形ABGF,四边形FGCD都是平行四边形

又∵AB=5,BC=10,

∴AB=BG=FG=CG=5,

∴四边形ABGF,四边形FGCD都是菱形

∴∠3=∠4,AB∥FG

∵AB∥FG

∴∠1=∠2

设GF交CE于M

则MG∥BE

∴EM=MC

∵BE⊥CE

∴GM⊥CE

∴FM垂直平分CE

∴FE=FC

∴∠2=∠3=∠4=∠1

∴∠EFD=3∠AEF

∴k=3

②设BE=x,则AE=5-x

过点F作AB的垂线,垂足为N,则∠N=∠BEC=90°

∵AF∥BG

∴∠NAF=∠B

∴△NAF∽△EBC

∴AN= ,FN= CE

EN=AE+AN=5-x+ =

在Rt△EBC中,

在Rt△NEF中, =

∴y= = + ]

=

∵-1<0

当 时, 取最大值。

∴FN= ,NE=

∴tan∠DCF=tan∠NEF= = 。

【点评】第(2)问转化为把∠EFD分为k等分,证明其中的一份等于∠AEF的问题。确定k的值。第(3)关键是列出二次函数,计算当 取得最大值时,确定BE的长,也就是确定点E的位置,把∠DCF放在直角三角形中求其正切值。

25.(2012江苏盐城,25,10分)如图①所示,已知A、B为直线 上两点,点C为直线 上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥ 于点D1,过点E作EE1⊥ 于点E1.

(1)如图②,当点E恰好在直线 的上方时(此时E1与E重合),试说明DD1=AB

(2)在图①中,当D、E两点都在直线 的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由.

(3)如图③,当点E在直线 的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系(不需证明).

【解析】本题考查了正方形和全等三角形的判定和性质.利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键(1)图②是特殊位置,直接证明三角形全等解决;

(2)先猜想三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,然后根据图②启示,构造两对全等三角形证明.

(3)类比归纳、猜想出结论.

【答案】(1)∵四边形CADF和四边形CBEG都是正方形,且DD1⊥ ,∴∠DAC=∠ABC=∠DD1A=900,又∵∠ADD1+∠DAD1=900,而∠DAD1+∠ABC=900,∴∠ADD1=∠ABC,在Rt△DD1A和在Rt△BEE1中,∵∠ABC=∠DD1A,∠ADD1=∠BAC,AD=AC,∴△DD1A≌△BEE1,∴DD1=AB.

(2)AB=DD1+EE1.理由如下:过C作CM⊥AB于M,易得:△DD1A≌△ACM,∴DD1=AM,同理:

△BCM≌△EBE1,∴EE1=BM,∴AB=AM+BM= DD1+EE1.

(3)AB=DD1-EE1.

【点评】本题是对平面几何推理证明的考查,证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等,利用全等形的性质,推出结论,考查了同学们从特殊到一般的推理过程.

(2012四川成都,28,l2分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数 ( 为常数)的图象与x轴交于点A( ,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数,且 ≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求 的值及抛物线的函数表达式;

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;

(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 , 两点,试探究 是否为定值,并写出探究过程.

解析:第(1)小题可用待定系数法进行解决;对于第(2)小题“存在”问题,若存在要指出,若不存在要说明原因。

答案:(1)∵一次函数 经过点A( ,0),

则C的坐标为(0, )

∵二次函数 经过点A(-3,0)、点C(0, ),且以直线x=1为对称轴

则点B的坐标为(5,0)

解,得

∴二次函数为

(2)存在

根据题意,FE∥AC

要使ACEF为平行四边形

则CE∥AF

∵E在抛物线 上

∴E是C关于直线x=1的对称点,则E点的坐标为(2, )

(3)要使△ACP的周长取得最小值,即为AP+CP最小

E是C关于直线x=1对称点,连接AE交对称轴于点P,则PE=CP

此时,△ACP的周长取得最小值。

如图所示,CE交x=1于点G,x=1交x轴于H

∴点P的坐标为(1,3)

设过点P的直线的直线 的解析式为

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