初一下册数学开放探索型问题

则

则△=

∴

∴

∴

∴ 不是定值。

点评：在本题中，第一小题考查了是知识的灵活应用能力和运算能力，第二小题是探究题，需要同学们进行细心地观察、大胆地猜测、灵活地验证。

28.(2012四川内江，28，12分)如图14，已知点A(-1，0)，B(4，0)，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M.

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;

(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明;

(3)在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4?如果存在，那么这样的点有几个?如果不存在，请说明理由.

【解析】(1)根据∠ACB=90°及坐标系中的横、纵轴垂直关系，可证得△AOC∽△COB，进而得到OC2=OA•OB，求出OC长得到点C的坐标.(2)猜测是相切的位置关系.以AB为直径的圆的圆心是AB的中点，不妨设为点E，连接EC，EM，证得EM2=CE2+CM2即可.(3)分点N在直线BC的左下方和右上方两种情况考虑.

【答案】解：(1)∵∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠CAO=∠BCO.

∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB.∴ = .∴OC2=OA•OB=4.

∵OC>0，∴OC=2.

∵点C在y轴的非负半轴上，∴C(0，2).

由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)，

∴2=a(0+1)(0-4).a=- .

∴y=- (x+1)(x-4) =- x2+ x+2.

(2)直线CM与以AB为直径的圆相切.

理由：设AB中点为E，则E( ，0)，当x= 时，y=- ×( )2+ × +2= .

∴M( ， )，∴EM= ，EM2= ，CE2=(0- )2+(2-0)2= ，

CM2=(0- )2+(2- )2= .

∴EM2=CE2+CM2.∴CE⊥CM.

∴以AB为直径的圆与直线CM相切.

(3)存在点N，使得S△BCN=4，且这样的点有3个.

①当N在直线BC左下方时，S△BCN可以为任意正数，所以存在两个点，使S△BCN=4;

②当N在直线BC右上方时，过点N作平行于y轴的直线交BC于点Q，直线BC的解析式为y=- x+2.

设点N的坐标为(t，- t2+ t+2)，则点Q的坐标为(t，- t+2)，

∴NQ=- t2+ t+2-(- t+2)=- t2+2t.

∴S△BCN=S△NQC+S△NBQ= NQ•OB= (- t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4.

∴当t=2时，△BCN的面积最大为4.

∴存在一个点N，使得S△BCN=4.

综上，在抛物线上共存在三个点N，使得S△BCN=4.

【点评】此题综合考查了相似三角形，勾股定理，待定系数法，三角形的面积，数形结合思想等，整体难度不大，学生上手容易.第(1)问是射影定理基本图，学生普遍都会.第(2)问证明切线时，如下图，还可以过点C作CD⊥EM于D，利用相似三角形或锐角三角函数证明∠MCD=∠CED，然后由∠CEM+∠DCE=∠MCD+∠DCE=90° ，得∠MCE=90°，从而证得CE⊥CM.当然也可以过点M作y轴的垂线段MF，在△MCF与△COE中用相似三角形或锐角三角函数知识证明∠MCE=90°.第(3)问这种在抛物线上探究三角形面积类问题比较新颖，过去出现较多的情形是在抛物线落在第一象限的BC段上求解，而此题却是在整条抛物线上求解判断，富有新意，值得关注.

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