高三数学教案：空间向量及其应用

解析：A中向量 为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证 不为零向量。

答案C。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。

题型2：空间向量的基本运算

例3.如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是( )

解析：显然 ;

答案为A。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例4.已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.

解： ∥ ,,且 即

又 不共面,

点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标

例5.(1)已知两个非零向量 =(a1，a2，a3)， =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是(　　)

A. ：| |= ：| |　　　　　　　　　　　　B.a1•b1=a2•b2=a3•b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使 =k

(2)已知向量 =(2，4，x)， =(2，y，2)，若| |=6， ⊥ ，则x+y的值是(　　)

A. -3或1　　　　　 B.3或-1　　　　　 C. -3　　　　　 D.1

(3)下列各组向量共面的是(　　)

A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)

B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)

C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)

D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)

解析：(1)D;点拨：由共线向量定线易知;

(2)A　点拨：由题知 或 ;

(3)A　点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。

例6.已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)。设 = ， = ，(1)求 和 的夹角 ;(2)若向量k + 与k -2 互相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)， = ， = ，

∴ =(1，1，0)， =(-1，0，2).

(1)cos = = - ，

∴ 和 的夹角为- 。

(2)∵k + =k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，

k -2 =(k+2，k，-4)，且(k + )⊥(k -2 )，

∴(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。

则k=- 或k=2。

点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k • -2 2=2k2+k-10=0，解得k=- ，或k=2。

题型4：数量积

例7.设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①( • ) -( • ) = ②| |-| |<| - | ③( • ) -( • ) 不与 垂直

④(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中，是真命题的有( )

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

答案：D

解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;

②由向量的减法运算可知| |、| |、| - |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真;

③因为[( • ) -( • ) ]• =( • ) • -( • ) • =0，所以垂直.故③假;

④(3 +2 )(3 -2 )=9• • -4 • =9| |2-4| |2成立.故④真.

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

例8.(1)已知向量 和 的夹角为120°，且| |=2，| |=5，则(2 - )• =_____.

(2)设空间两个不同的单位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< ， >的大小(其中0<< ， ><π 。

解析：(1)答案：13;解析：∵(2 - )• =2 2- • =2| |2-| |•| |•cos120°=2•4-2•5(- )=13。

(2)解：(1)∵| |=| |=1，∴x +y =1，∴x =y =1.

又∵ 与 的夹角为 ，∴ • =| || |cos = = .

又∵ • =x1+y1，∴x1+y1= 。

另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=( )2-1= .∴x1y1= 。

(2)cos< ， >= =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .∴x1，y1是方程x2- x+ =0的解.

∴ 或 同理可得 或

∵ ≠ ，∴ 或

∴cos< ， >= • + • = + = .

∵0≤< ， >≤π，∴< ， >= 。

评述：本题考查向量数量积的运算法则。

题型5：空间向量的应用

例9.(1)已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + ≤4 。

(2)已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1(1，-2，1)移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：(1)设 =( ， ， )， =(1，1，1)，

则| |=4，| |= .

∵ • ≤| |•| |，

∴ • = + + ≤| |•| |=4 .

当 = = 时，即a=b=c= 时，取“=”号。

(2)解：W=F•s=(F1+F2+F3)• =14。

点评：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，则由 • ≤| |•| |，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| |•| |≥ • 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量 ， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

例10.如图,直三棱柱 中, 求证:

证明：

同理

又

设 为 中点,则

又

点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。

五.思维总结

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a•b=|a|•|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为 ，对于中点公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

2.向量在空间中的应用

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

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