高三数学教案：压轴题放缩法技巧全总结

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本文题目：高三数学教案：压轴题放缩法技巧全总结

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

例1.(1)求 的值; (2)求证: .

解析:(1)因为 ,所以

(2)因为 ,所以

技巧积累:(1) (2)

(3)

例2.(1)求证:

(2)求证: (3)求证:

(4) 求证：

解析:(1)因为 ,所以

(2)

(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先 ,所以容易经过裂项得到

再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以

例3.求证:

解析: 一方面: 因为 ,所以

另一方面:

当 时, ,当 时, ,

当 时, ,

所以综上有

例4.(2008年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .

设 ，整数 .证明: .

解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列,

故 若存在正整数 , 使 , 则 ,

若 ,则由 知 , ,

因为 ,于是

例5.已知 ,求证: .

解析:首先可以证明:

所以要证

只要证:

故只要证 ,

即等价于 ,

即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知 , ,求证: .

解析:

所以

从而

例7.已知 , ,求证:

证明: ,

因为 ,所以

所以

二、函数放缩

例8.求证： .

解析:先构造函数有 ,从而

cause

所以

例9.求证:(1)

解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案

函数构造形式: ,

例10.求证:

解析:提示:

函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数 ,

首先: ,从而,

取 有, ,

所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:

另一方面 ,从而有

取 有, ,

所以有 ,所以综上有

例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明

例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案

函数构造形式: (加强命题)

例13.证明:

解析:构造函数 ,求导,可以得到:

,令 有 ,令 有 ,

所以 ,所以 ,令 有,

所以 ,所以

例14. 已知 证明 .

解析: ,

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用 和裂项可以得到答案)

放缩思路：

。于是 ，

即

注：题目所给条件 ( )为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然，本题还可用结论 来放缩：

，

即

例16.(2008年福州市质检)已知函数 若

解析:设函数

∴函数 )上单调递增，在 上单调递减.∴ 的最小值为 ，即总有

而

即

令 则

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.

(I)求证：函数 上是增函数; (II)当 ;

(III)已知不等式 时恒成立，

求证：

解析:(I) ,所以函数 上是增函数

(II)因为 上是增函数,所以

两式相加后可以得到

(3)

……

相加后可以得到:

所以

令 ,有

所以

(方法二)

所以

又 ,所以

三、分式放缩

姐妹不等式: 和

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.

例19. 姐妹不等式: 和

也可以表示成为

和

解析: 利用假分数的一个性质 可得

即

例20.证明:

解析: 运用两次次分式放缩:

(加1)

(加2)

相乘,可以得到:

所以有

四、分类放缩

例21.求证:

解析:

例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 ( ≥0)上的点列 满足 ，直线 在x轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .

(1)证明 > >4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 < .

解析:(1) 依题设有： ，由 得：

,又直线 在 轴上的截距为 满足

显然，对于 ，有

(2)证明：设 ，则

设 ，则当 时，

。

所以，取 ，对 都有：

故有 < 成立。

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数 ，若 的定义域为[-1，0]，值域也为[-1，0].若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数 都有 ?并证明你的结论。

解析:首先求出 ,∵

∴ ,∵ , ,…

,故当 时, ,

因此，对任何常数A，设 是不小于A的最小正整数，

则当 时,必有 .

故不存在常数A使 对所有 的正整数恒成立.

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,

设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证: .

解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为 ,所以原命题得证

五、迭代放缩

例25. 已知 ,求证:当 时,

解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论

例26. 设 ,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<1n

解析:

又 所以

六、借助数列递推关系

例27.求证:

解析: 设 则

,从而

,相加后就可以得到

所以

例28. 求证:

解析: 设 则

,从而

,相加后就可以得到

例29. 若 ,求证:

解析:

所以就有

七、分类讨论

例30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，有

解析:容易得到 ,

由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当 且 为奇数时

(减项放缩)，于是

①当 且 为偶数时

②当 且 为奇数时 (添项放缩)由①知 由①②得证。

八、线性规划型放缩

例31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。

解析:由 知 即

由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为

因此对一切 ， 的充要条件是， 即 ， 满足约束条件 ，

由线性规划得， 的最大值为5.

九、均值不等式放缩

例32.设 求证

解析: 此数列的通项为

， ，

即

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。

例33.已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，求证：

解析:

例34.已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .

解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，

令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ，

而 ，

则 = ，所以 ，即对每一个 ， .

例35.求证

解析: 不等式左 = ，

原结论成立.

例36.已知 ,求证:

解析:

经过倒序相乘,就可以得到

例37.已知 ,求证:

解析:

其中: ,因为

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