理科高三数学教案：三角函数

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本文题目：理科高三数学教案：三角函数

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1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.

2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sin x， y=cos x ， y=tan x的图象，了解三角函数的周期性.

4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(- , )上的单调性.

5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1 ， =tan x.

6.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义，能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.

7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用;2.三角函数的图象与性质，y=Asin(ωx+)

(ω>0)的性质、图象及变换;3.用三角函数模型解决实际问题;4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力;5.正、余弦定理及应用.

本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系;2.灵活运用三角公式化简、求值、证明; 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法;4.探索两角差的余弦公式;5.把实际问题转化为三角函数问题. 　　三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解;运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.

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5.1　任意角的三角函数的概念

典例精析

题型一　象限角与终边相同的角

【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、 的终边所在的象限.

【解析】因为α是第二象限角，

所以k 360°+90°<α

因为2k 360°+180°<2α<2k 360°+360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.

因为k 180°+45°<α2

当k=2n(n∈Z)时，n 360°+45°<α2

当k=2n+1(n∈Z)时，n 360°+225°<α2

所以α2是第一或第三象限角 .

【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.

如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.

【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是(　　)

A.第一象限角 B.第一或第二象限角

C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角

【解析】由题意2kπ<2α<2kπ+π，k∈Z，

得kπ<α

当k是奇数时，α是第三象限角.

当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.

题型二　弧长公式，面积公式的应用

【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这个最大值.

【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

因为α=60°=π3，R=10 cm，所以l=10π3 cm，

S弓=S扇-SΔ=12×10×10π3-12×102×sin 60°=50(π3-32) cm2.

(2)因为C=2R+l=2R+αR，所以R=C2+α，

S扇=12αR2=12α(C2+α)2=C22 αα2+4α+4=C22 1α+4α+4≤C216，

当且仅当α=4α时，即α=2(α=-2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.

【点拨】用弧长公式l= |α| R与扇形面积公式S=12lR=12R2|α|时，α的单位必须是弧度.

【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值?并求出最小值.

【解析】因为S=12Rl，所以Rl=2S，

所以周长C=l+2R≥22Rl=24S=4S，

当且仅当l=2R时，C=4S，

所以当α=lR=2时，周长C有最小值4S.

题型三　三角函数的定义，三角函数线的应用

【例3】(1)已知角α的终边与函数y=2x的图象重合，求sin α;(2)求满足sin x≤32的角x的集合.

【解析】(1)由 ⇒交点为(-55，-255)或(55，255 )，

所以sin α=±255.

(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.

②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.

③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ-4π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z}.

【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.

【变式训练3】函数y=lg sin x+cos x-12的定义域为　　　　　　　　　　　　.

【解析】

⇒2kπ

所以函数的定义域为{x|2kπ

总结提高

1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.

2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k•360°+π3的错误书写.

3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.

5.2　同角三角函数的关系、诱导公式

典例精析

题型一　三角函数式的化简问题

【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.

【变式训练1】已知f(x)=1-x，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)=　　　　.

【解析】f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)=1-sin 2θ+1+sin 2θ=(sin θ-cos θ)2+(sin θ+cos θ)2=|sin θ-cos θ|+|sin θ+cos θ|.

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