理科高三数学教案：三角函数

【变式训练1】如果tan(α+β)=35，tan(β-π4)=14，那么tan(α+π4)等于(　　)

A.1318 　 B.1322 C.723 D.318

【解析】因为α+π4=(α+β)-(β-π4)，

所以tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=723.

故选C.

题型二　等式的证明

【例2】求证：sin βsin α=sin(2α+β)sin α-2co s(α+β).

【证明】证法一：

右边=sin [(α+β)+α]-2cos(α+β)sin αsin α=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin αsin α

=sin [(α+β)-α]sin α=sin βsin α=左边.

证法二：sin(2α+β)sin α-sin βsin α=sin(2α+β)-sin βsin α=2cos(α+β)sin αsin α=2cos(α+β)，

所以sin(2α+β)sin α-2cos(α+β)=sin βsin α.

【点拨】证法一将2α+β写成(α+β)+α，使右端的角形式上一致，易于共同运算;证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.

【变式训练2】已知5sin α=3sin(α-2β)，求证：tan(α-β)+4tan β=0.

【证明】因为5sin α=3sin(α-2β)，所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β]，

所以5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β，

所以2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0.

即tan(α-β)+4tan β=0.

题型三　三角恒等变换的应用

【例3】已知△ABC是非直角三角形.

(1)求证：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;

(2)若A>B且tan A=-2tan B，求证：tan C=sin 2B3-cos 2B;

(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.

【解析】(1)因为C=π-(A+B)，

所以tan C=-tan(A+B)=-(tan A+tan B)1-tan Atan B，

所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B，

即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

(2)由(1)知tan C=-(tan A+tan B)1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=

=sin 2B2(2-1+cos 2B2)=sin 2B3-cos 2B.

(3)由(2)知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B≤122=24，

当且仅当2tan B=1tan B，即tan B=22时，等号成立.

所以tan C的最大值为24.

【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.

【变式训练3】在△ABC中，tan B+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，试判断△ABC的形状.

【解析】由已知得tan B+tan C=3(1-tan Btan C)，

3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B)，

即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.

所以tan(B+C)=3，tan(A+B)=-33.

因为0

又A+B+C=π，故A=2π3，B=C=π6.

所以△ABC是顶角为2π3的等腰三角形.

总结提高

三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数;②统一名称，即化为同一种三角函数;③统一结构形式.

5.5　三角函数的图象和性质

典例精析

题型一　三角函数的周期性与奇偶性

【例1】已知函数f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)令g(x)=f(x+π3)，判断g(x)的奇偶性.

【解析】(1)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sin(x2+π3)，

所以f(x)的最小正周期T=2π12=4π.

(2)g(x)=f(x+π3)=2sin[12(x+π3)+π3]=2sin(x2+π2)=2cos x2.

所以g(x)为偶函数.

【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.

【变式训练1】函数y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于(　　)

A.2π B.π C.π2 D.π3

【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=22(22sin 2x-22cos 2x)+12

=22sin(2x-π4)+12，所以T=2π2=π.故选B.

题型二　求函数的值域

【例2】求下列函数的值域：

(1)f(x)=sin 2xsin x1-cos x;

(2)f(x)=2cos(π3+x)+2cos x.

【解析】(1)f(x)=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x(1-cos2x)1-cos x=2cos2x+2cos x

=2(cos x+12)2-12，

当cos x=1时，f(x)max=4，但cos x≠1，所以f(x)<4，

当cos x=-12时，f(x)min=-12，所以函数的值域为[-12，4).

(2)f(x)=2(cos π3cos x-sin π3sin x)+2cos x

=3cos x-3sin x=23cos(x+π6)，

所以函数的值域为[-23，23].

【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.

【变式训练2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.

【解析】令t=sin x+cos x，则有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.

所以y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1.

又t=sin x+cos x=2sin(x+π4)，所以-2≤t≤2.

故y=f(t)=12(t+1)2-1(-2≤t≤2)，

从而f(-1)≤y≤f(2)，即-1≤y≤2+12.

所以函数的值域为[-1，2+12].

题型三　三角函数的单调 性

【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(φ>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.

(1)求ω，φ的值;

(2)设g(x)=f(x)f(x-π4)，求函数g(x)的单调递增区间.

【解析】(1)由图可知，T=4(π2-π4)=π，ω=2πT=2.

又由f(π2)=1知，sin(π+φ)=1，又f(0)=-1，所以sin φ=-1.

因为|φ|<π，所以φ=-π2.

(2)f(x)=sin(2x-π2)=-cos 2x.

所以g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x-π2)]=cos 2xsin 2x=12sin 4x.

所以当2kπ-π2≤4x≤2kπ+π2，即kπ2-π8≤x≤kπ2+π8(k∈Z)时g(x)单调递增.

故函数g(x)的单调增区间为[kπ2-π8，kπ2+π8](k∈Z).

【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.

【变式训练3】使函数y=sin(π6-2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是(　　)

A.[0，π3] B.[π12，7π12]

C.[π3，5π6] D.[5π6，π]

【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.

总结提高

1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.

2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.

3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.

4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.

5.6　函数y=Asin(ωx+ )的图象和性质

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