理科高三数学教案：三角函数

因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ-cos θ>0，sin θ+cos θ<0.

所以|sin θ-cos θ|+|sin θ+cos θ|=sin θ-cos θ-sin θ-cos θ=-2cos θ.

题型二　三角函数式的求值问题

【例2】已知向量a=(sin θ，cos θ-2sin θ)，b=(1,2).

(1)若a∥b，求tan θ的值;

(2)若|a|=|b|，0<θ<π，求 θ的值.

【解析】(1)因为a∥b，所以2sin θ=cos θ-2sin θ，

于是4sin θ=cos θ，故tan θ=14.

(2)由|a|=|b|知，sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5，

所以1-2sin 2θ+4sin2θ=5.

从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4，即sin 2θ+cos 2θ=-1，

于是sin(2θ+π4)=-22.

又由0<θ<π知，π4<2θ+π4<9π4，

所以2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4.

因此θ=π2或θ=3π4.

【变式训练2】已知tan α=12，则2sin αcos α+cos2α等于(　　)

A.45 B.85 C.65 D.2

【解析】原式=2sin αcos α+cos2αsin2α+cos2α=2tan α+11+tan2α=85.故选B.

题型三　三角函数式的简单应用问题

【例3】已知-π2

(1)sin x-cos x的值;

(2)sin3(π2-x)+cos3(π2+x)的值.

【解析】(1)由已知得2sin xcos x=-2425，且sin x<0

所以sin x-cos x=-(sin x-cos x)2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75.

(2)sin3(π2-x)+cos3(π2+x)=cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x)

=75×(1-1225)=91125.

【点拨】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x取值符号.

【变式训练3】化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

【解析】原式=1-[(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α]1-[(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α-sin2αcos2α)]

=2sin2αcos2α1-[(cos2α+sin2α)2-3sin2αcos2α]=23.

总结提高

1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(-2α)+cos2(-2α)=1是恒成立的.

2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.

5.3　两角和与差、二倍角的三角函数

典例精析

题型一　三角函数式的化简

【例1】化简 (0<θ<π).

【解析】因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，

所以原式=

= =-cos θ.

【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2-cos2θ2=-cos θ.

【变式训练1】化简2cos4x-2cos2x+122tan(π4-x)sin2(π4+x).

【解析】原式=12(2cos2x-1)22tan(π4-x)cos2(π4-x)=cos22x4cos(π4-x)sin(π4-x)=cos22x2sin(π2-2x)=12cos 2x.

题型二　三角函数式的求值

【例2】已知sin x2-2cos x2=0.

(1)求tan x的值;

(2)求cos 2x2cos(π4+x)sin x的值.

【解析】(1)由sin x2-2cos x2=0⇒tan x2=2，所以tan x= =2×21-22=-43.

(2)原式=cos2x-sin2x2(22cos x-22sin x)sin x

=(cos x-sin x)(cos x+sin x)(cos x-sin x)sin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=(-34)+1=14.

【变式训练2】2cos 5°-sin 25°sin 65°=　　　　　.

【解析】原式=2cos(30°-25°)-sin 25°cos 25°=3cos 25°cos 25°=3.

题型三　已知三角函数值求解

【例3】已知tan(α-β)=12，tan β=-17，且α，β∈(0，π)，求2α-β的值.

【解析】因为tan 2(α-β)=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=43，

所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=tan2(α-β)+tan β1-tan 2(α-β)tan β=1，

又tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tan β1-tan(α-β)tan β=13，

因为α∈(0，π)，所以0<α<π4，

又π2<β<π，所以-π<2α-β<0，所以2α-β=-3π4.

【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.

【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α+β)=2sin α，则α与β的大小关系是(　　)

A.α=β B.α<β

C.α>β D.以上都有可能

【解析】方法一：因为2sin α=sin(α+β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.

又当α=30°，β=60°时符合题意，故选B.

方法二：因为2sin α=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

所以sin α

又因为α、β是锐角，所以α<β，故选B.

总结提高

1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.

(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题;

(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”;

(3)掌握角的演变规律，如“2α=(α+β)+(α-β)”等.

2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.

5.4　三角恒等变换

典例精析

题型一　三角函数的求值

【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，3sin β=sin(2α+β)，4tan α2=1-tan2α2，求α+β的值.

【解析】由4tan α2=1-tan2α2，得tan α= =12.

由3sin β=sin(2α+β)得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，

所以3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，

即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α，所以tan(α+β)=2 tan α=1.

又因为α、β∈(0，π4)，所以α+β=π4.

【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.

上一页  [1] [2] [3] [4] [5] [6]  下一页