理科高三数学教案：三角函数

典例精析

题型一　“五点法”作函数图象

【例1】设函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相;

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;

(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到.

【解析】(1)f(x)=sin ωx+3cos ωx=2(12sin ωx+32cos ωx)=2sin(ωx+π3)，

又因为T=π，所以2πω=π，即ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，

所以函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的振幅为2，初相为π3.

(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.

(3)把y=sin x图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y=sin(x+π3)的图象，再把

y=sin(x+π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+π3)的图象，然后把y=sin(2x+π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin(2x+π3)的图象.

【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)形式，再令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

【变式训练1】函数

的图象如图所示，则(　　)

A.k=12，ω=12，φ=π6

B.k=12，ω=12，φ=π3

C.k=12，ω=2，φ=π6

D.k=-2，ω=12，φ=π3

【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k=12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T=4×(8π3-5π3)=4π，故ω=12.将点(5π3，0)代入解析式y=2sin(12x+φ)，得12×5π3+φ=kπ，k∈Z，所以φ=kπ-5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.

题型二　三角函数的单调性与值域

【例2】已知函数f(x)=sin2ωx+3sin ωxsin(ωx+π2)+2cos2ωx，x∈R(ω>0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.

(1)求ω的值;

(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

【解析】(1)f(x)=32sin 2ωx+12cos 2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32.

令2ωx+π6=π2，将x=π6代入可得ω=1.

(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+32，经过题设的变化得到函数g(x)=sin(12x-π6)+32，

当x=4kπ+43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.

令2kπ+π2≤12x-π6≤2kπ+32π，

即[4kπ+4π3，4kπ+103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.

【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.

【变式训练2】若将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是(　　)

A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4

【解析】将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到y=2sin[3(x-π4)+φ]=2sin(3x-3π4+φ)的图象.

因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3-3π4+φ)=2sin(π4+φ)=0，

故有π4+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-π4(k∈Z).

当k=0时，|φ|取得最小值π4，故选A.

题型三　三角函数的综合应用

【例3】已知函数y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).

(1)求φ的值;

(2)求f(1)+f(2)+…+f(2 008).

【解析】(1)y=Asin2(ωx+φ)=A2-A2cos(2ωx+2φ)，

因为y=f(x)的最大值为2，又A>0，

所以A2+A2=2，所以A=2，

又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，

所以12×2π2ω=2，所以ω=π4.

所以f(x)=22-22cos(π2x+2φ)=1-cos(π2x+2φ)，

因为y=f(x)过点(1,2)，所以cos(π2+2φ)=-1.

所以π2+2φ=2kπ+π(k∈Z)，

解得φ=kπ+π4(k∈Z)，

又因为0<φ<π2，所以φ=π4.

(2)方法一：因为φ=π4，

所以y=1-cos(π2x+π2)=1+sin π2x，

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4，

又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.

所以f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

方法二：因为f(x)=2sin2(π4x+φ)，

所以f(1)+f(3)=2sin2(π4+φ)+2sin2(3π4+φ)=2，

f(2)+f(4)=2sin2(π2+φ)+2sin2(π+φ)=2，

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，

又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.

所以f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

【点拨】函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ，可得x=kπ-φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.

【变式训练3】已知函数f(x)=Acos2 ωx+2(A>0，ω>0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(20)=　　　　.

【解析】f(x)=Acos2ωx+2=A×1+cos 2ωx2+2=Acos 2ωx2+A2+2，则由题意知A+2=6，2π2ω=8，所以A=4，ω=π8，所以f(x)=2cos π4x+4，所以f(2)=4，f(4)=2，f(6)=4，f(8)=6，f(10)=4，…观察周期性规律可知f(2)+f(4)+…+f(20)=2×(4+2+4+6)+4+2=38.

总结提高

1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx+φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.

2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.

3.在解决y=Asin(ωx+φ)的有关性质时，应将ωx+φ视为一个整体x后再与基本函数

y=sin x的性质对应求解.

5.7　正弦定理和余弦定理

典例精析

题型一　利用正、余弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，AB=2，BC=1，cos C=34.

(1)求sin A的值;(2)求 的值.

【解析】(1)由cos C=34得sin C=74.

所以sin A=BC sin CAB=1×742=148.

(2)由(1)知，cos A=528.

所以cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C

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