高三数学教案：直线和圆的方程

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本文题目：高三数学教案：直线和圆的方程

第八章　直线和圆的方程

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1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.

3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.

7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.

10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式. 　　本章重点：1.倾斜角和斜率的概念;2.根据斜率判定两条直线平行与垂直;3.直线的点斜式方程、一般式方程;4.两条直线的交点坐标;5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法;6.圆的标准方程与一般方程;7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系;8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.

本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系;2.根据斜率判定两条直线的位置关系;3.直线方程的应用;4.点到直线的距离公式的推导;5.圆的方程的应用;6.直线与圆的方程的综合应用. 　　本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.

直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题;如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.

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8.1　直线与方程

典例精析

题型一　直线的倾斜角

【例1】直线2xcos α-y-3=0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是(　　)

A.[π6，π3] B.[π4，π3]

C.[π4，π2] D.[π4，2π3]

【解析】直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α，

由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k=2cos α∈[1，3].

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，

由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.

【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.

【变式训练1】已知M(2m+3，m)，N(m-2,1)，当m∈　　　　　　　　　时，直线MN的倾斜角为锐角;当m=　　　时，直线MN的倾斜角为直角;当m∈　　　　　时，直线MN的倾斜角为钝角.

【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5>0⇒m<-5或m>1;

直线MN的倾斜角为直角时，2m+3=m-2⇒m=-5;

直线MN的倾斜角为钝角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5<0⇒-5

题型二　直线的斜率

【例2】已知A(-1，-5)，B(3，-2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.

【解析】由于A(-1，-5)，B(3，-2)，所以kAB=-2+53+1=34，

设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ=34，

l的倾斜角为2θ，tan 2θ= 2tan θ1-tan2θ=2×341-(34)2=247.

所以直线l的斜率为247.

【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.

【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sin α+cos α=15，则直线l的斜率为(　　)

A.34 B.43 C.-43 D.-34或-43

【解析】选C.sin α+cos α=15⇒sin αcos α=-1225<0⇒

sin α=45，cos α=-35或cos α=45，sin α=-35(舍去)，

故直线l的斜率k=tan α=sin αcos α=-43.

题型三　直线的方程

【例3】求满足下列条件的直线方程.

(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等;

(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.

【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x-3y=0;当截距不为0时，设方程为xa+ya=1，把(3,2)代入，得a=5，直线方程为x+y-5=0.

故所求直线方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

(2)当斜率不存在时，直线方程x-2=0合题意;

当斜率存在时，则设直线方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0，所以|1-2k|k2+1=2，解得k=-34，方程为3x+4y-10=0.

故所求直线方程为x-2=0或3x+4y-10=0.

【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.

【变式训练3】求经过点P(3，-4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.

【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y=kx.

因为直线过点P(3，-4)，所以-4=3k，得k=-43.此时直线方程为y=-43x.

当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa+y-a=1，

因为直线过点P(3，-4)，所以a=3+4=7.此时方程为x-y-7=0.

综上，所求直线方程为4x+3y=0或x-y-7=0.

题型四　直线方程与最值问题

【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.

【解析】方法一：设直线方程为xa+yb=1(a>0，b>0)，

由于点P在直线上，所以2a+1b=1.

2a•1b≤(2a+1b2)2=14，

当2a=1b=12时，即a=4，b=2时，1a•1b取最大值18，

即S△AOB=12ab取最小值4，

所求的直线方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0.

方法二：设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)，

直线与x轴的交点为A(2k-1k，0)，直线与y轴的交点为B(0，-2k+1)，

由题意知2k-1<0，k<0,1-2k>0.

S△AOB=12(1-2k) •2k-1k=12[(-1k)+(-4k)+4]≥12[2(-1k)•(-4k)+4]=4.

当-1k=-4k，即k=-12时，S△AOB有最小值，

所求的直线方程为y-1=-12(x-2)，即x+2y-4=0.

【点拨】求直线 方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式;若已知直线过两点，一般考虑两点式;若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式;若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.

【变式训练4】已知直线l：mx-(m2+1)y=4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.

【解析】由直线l的方程得其斜率k=mm2+1.

若m=0，则k=0;

若m>0，则k=1m+1m≤12m•1m=12，所以0

若m<0，则k=1m+1m=-1-m-1m≥-12(-m)(-1m)=-12，所以-12≤k<0.

综上，-12≤k≤12.

总结提高

1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k=y2-y1x2-x1求斜率;其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k=tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.

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