高三数学教案：直线和圆的方程

由方程组 可得

所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).

(2)由(3-1)2+(1-2)2=5<5，

故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.

(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.

|AB|=2r2-|CM|2=225-[(3-1)2+(1-2)2]=45，

此时 k=-1kCM，即-2m+1m+1=-1-12=2，

解得m=-34，代入原直线方程，得l的方程为2x-y-5=0.

【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.

【变式训练1】若函数f(x)=-1beax的图象在x=0处的切线l与圆C：x2+y2=1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是(　　)

A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定

【解析】选B.f(x)=-1beax⇒f′(x)=-abeax⇒f′(0)=-ab.

又f(0)=-1b，所以切线l的方程为y+1b=-ab(x-0)，即ax+by+1=0，

由l与圆C：x2+y2=1相离得1a2+b2>1⇒a2+b2<1，即点P(a，b)在圆内，故选B.

题型二　和圆有关的对称问题

【例2】设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称，又满足 • =0.

(1)求m的值;

(2)求直线PQ的方程.

【解析】(1)曲线方程可化为(x+1)2+(y-3)2=9，是圆心为(-1,3)，半径为3的圆.

因为点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

所以圆心(-1,3)在直线x+my+4=0上，代入得m=-1.

(2)因为直线PQ与直线y=x+4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则直线PQ的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0，Δ=4(4-b)2-4×2(b2-6b+1)>0，解得2-32

x1+x2=b-4，x1x2=b2-6b+12，

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1x2=b2+2b+12，

因为 • =0，所以x1x2+y1y2=0，

即b2-6b+12+b2+2b+12=0，得b=1.

故所求的直线方程为y=-x+1.

【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.

【变式训练2】若曲线x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足①关于直线kx-y+4=0对称;②OP ⊥OQ，则直线PQ的方程为　　　　　　　　　　.

【解析】由①知直线kx-y+4=0过圆心(-12，3)，所以k=2，故kPQ=-12.

设直线PQ的方程为y=-12x+t，与圆的方程联立消去y，

得54x2+(4-t)x+t2-6t+3=0.(*)

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，

即x1x2+(-12x1+t)(-12x2+t)=0，所以(x1+x2)(-12t)+54x1x2+t2=0.

由(*)知，x1+x2=4(t-4)5，x1x2=4(t2-6t+3)5，代入上式，解得t=32或t=54.

此时方程(*)的判别式Δ>0. 从而直线的方程为y=-12x+32或y=-12x+54，

即x+2y-3= 0或2x+4y-5=0为所求直线方程.

题型三　与圆有关的最值问题

【例3】求与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程.

【解析】曲线x2+y2-12x-12y+54=0可化为

(x-6)2+(y-6)2=18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆.

作出直线x+y-2=0与圆(x-6)2+(y-6)2=18，

由图形可知，当所求圆的圆心在直线y=x上时，半径最小.

设其半径 为r，点(6,6)到直线x+y=2的距离为52，所以2r+32=52，即r=2，

点(0,0)到直线x+y=2的距离为2，

所求圆的圆心为(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，

故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.

【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.

【变式训练3】由直线y=x+1上的点向圆C：(x-3)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为(　　)

A.17 B.32 C.19 D.25

【解析】选A.设M为直线y=x+1上任意一点，过点M的切线长为l，则l=|MC|2-r2，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y=x+1垂直，即|MC|2min=(3+2+12)2=18，故l的最小值为17.

总结提高

1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决;另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.

2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.

3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.

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