高三数学教案：直线和圆的方程

2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).

3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线;设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.

8.2　 两条直线的位置关系

典例精析

题型一　两直线的交点

【例1】若三条直线l1：2x+y-3=0，l2：3x-y+2=0和l3：ax+y=0 不能构成三角形，求a的值.

【解析】①l3∥l1时，-a=-2⇒a=2;

②l3∥l2时，-a=3⇒a=-3;

③由 ⇒ 将(-1，-1)代入ax+y=0⇒a=-1.

综上，a=-1或a=2或a=-3时，l1、l2、l3不能构成三角形.

【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.

【变式训练1】已知两条直线l1：a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是　　　　　　　.

【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得

故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x+3y+1=0，

即直线2x+3y+1=0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.

题型二　两直线位置关系的判断

【例2】已知两条直线l1：ax-by+4=0和l2：(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值.

(1)l1⊥l2，且l1过点(-3，-1);

(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.

【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，

所以k2=1-a，若k2=0，则1-a=0，即a=1.

因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b=0，

又l1过点(-3，-1)，所以-3a+b+4=0，

而a=1，b=0代入上式不成立，所以k2≠0.

因为k2≠0，即k1，k2都存在，

因为k2=1-a，k1=ab，l1⊥l2， 所以k1k2=-1，即ab(1-a)=-1，

又l1过点(-3，-1)，所以-3a+b+4=0，

联立上述两个方程可解得a=2，b=2.

(2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k 1=k2，即ab=(1-a)，

因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

所以 l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b=b，

联立上述方程解得a=2，b=-2或a=23，b=2，

所以a，b的值分别为2和-2或23和2.

【点拨】运用直线的斜截式y=kx+b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊 情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b-1c)x+(1p-1a)y=0，则直线OF的方程为　　　　　　　　　　　　.

【解析】由截距式可得直线AB：xb+ya=1，直线CP：xc+yp=1，两式相减得(1c-1b)x+(1p-1a)y=0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为(1c-1b)x+(1p-1a)y=0.

题型三　点到直线的距离

【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1

【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|=(4-1)2+(2-1)2=10，

又因为直线AB的方程为x-3y+2=0，

则点C(m，m)到直线AB的距离即为△ABC的高，

设高为h，则h=|m-3m+2|12+(-3)2，S=12|AB|•h=12|m-3m+2|，

令m=t，则1

由图象可知，当t =32时，S有最大值18，此时m=32，所以m=94.

【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.

【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：x-y-5=0，l2：x-y-15=0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.

【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，

所以

(①+②)÷2，得x1+x22-y1+y22-10=0，所以P1P2的中点P(x1+x22，y1+y22)在直线x-y-10=0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x-y-10=0的距离d=102=52.所以，点P到原点的最小距离为52.

方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.

令l：x-y-c=0，则5

解得c=10.所以l的方程为x-y-10=0.

由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d=102=52，所以点P到原点的最小距离为52.

总结提高

1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.

2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.

3.运用公式d=|C1-C2|A2+B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.

8.3　圆的方程

典例精析

题型一　求圆的方程

【例1】求经过两点A(-1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.

【解析】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为(-D2，-E2)，

由已知得 即

解得 D=0，E=-2，F=-9，所求圆的方程为x2+y2-2y-9=0.

方法二：经过A(-1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，

AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1.

令x=0，y=1，圆心为(0,1)，r=(3-0)2+(2-1)2=10 ，

圆的方程为x2+(y-1)2=10.

【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.

【变式训练1】已知一圆过P(4，-2)、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.

【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，①

将P、Q两点的坐标分别代入①得

令x=0，由①得y2+Ey+F=0，④

由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根.

所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，⑤

解②、③、⑤组成的方程组，得

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.

题型二　与圆有关的最值问题

【例2】若实数x，y满足(x-2)2+y2=3.求：

(1)yx的最大值和最小值;

(2)y-x的最小值;

(3)(x-4)2+(y-3)2的最大值和最小值.

【解析】(1)yx=y-0x-0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx=k，y=kx，kx-y=0.

由|2k|k2+1=3，得k=±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为-3.

(2)令x-2=3cos α，y=3sin α，α∈[0,2π).

所以y-x=3sin α-3cos α-2=6sin(α-π4)-2，

当sin(α-π4)=-1时，y-x的最小值为-6-2.

(3)(x-4)2+(y-3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，

连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.

|AB|=(4-2)2+(3-0)2=13，则|BC|=13-3，|BD|=13+3，

所以(x-4)2+(y-3)2的最大值为(13+3)2，最小值为(13-3)2.

【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;②形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.

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