高三数学教案：直线和圆的方程

【变式训练2】已知实数x，y满足x2+y2=3(y≥0).试求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范围.

【解析】如图，m可看作半圆x2+y2=3(y≥0)上的点与定点A(-3，-1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2+y2=3(y≥0)上的点且斜率为-2的直线的纵截距.

由图易得3-36≤m≤3+216，-23≤b≤15.

题型三　圆的方程的应用

【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围;

(2)求圆C的方程;

(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

【解析】(1)令x=0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，

由题意b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b.

令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1.

所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

(3)圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0，(*)

为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1-y0=0，

结合(*)式得x20+y20+2x0-y0=0，

解得 或

经检验知，点(0,1)，(-2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.

【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.

【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t=0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)

A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12]

【解析】选D.由题意知角速度为2π12=π6，故可得y=sin(π6t+π3),0≤t≤12，

π3≤π6t+π3≤π2或32π≤π6t+π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.

所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].

总结提高

1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程;条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.

2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.

8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

典例精析

题型一　直线与圆的位置关系的判断

【例1】已知圆的方程x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何值时，

(1)直线与圆有两个公共点;

(2)直线与圆只有一个公共点.

【解析】方法一：(几何法)

设圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d，d=|b|12+12=|b|2，半径r=2.

当d

所以当-2

当d=r时，直线与圆相切， |b|2=2，b=±2，

所以当b=±2时，直线与圆只有一个公共点.

方法二：(代数法)

联立两个方程得方程组

消去y得2x2+2bx+b2-2=0，Δ=16-4b2.

当Δ>0，即-2

当Δ=0，即b=±2时，有一个公共点.

【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.

【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0(θ∈R，θ≠kπ+π2，k∈Z)的位置关系是(　　)

A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

【解析】选A.易知圆的半径r=22，设圆心到直线的距离为d，则d=1sin2θ+1.

因为θ≠π2+kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ<1，

所以22r，所以直线与圆相离.

题型二　圆与圆的位置关系的应用

【例2】如果圆C：(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.

【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2+y2=1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2-1<|OC|<2+1，

所以1

所以-322

【变式训练2】两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为　　　　　.

【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1)，(2，-2)，则过它们圆心的直线方程为x-(-1)2-(-1)=y-1-2-1，即y=-x.

根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.

故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点，即点Q的坐标为(-2，-1).

题型三　圆的弦长、中点弦的问题

【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程;

(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.

【解析】(1)如图，AB=43，D是AB的中点，则AD=23，AC=4，

在Rt△ADC中，可得CD=2.

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y-5=kx，即kx-y+5=0.由点C到直线的距离公式|-2k-6+5|k2+1=2，

得k=34，此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x=0.

所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0. (也可以用弦长公式求解)

(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，

因为CD⊥PD，所以 =0，即(x+2，y-6)•(x，y-5)=0，

化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.

【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，

由 得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.

该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.

【变式训练3】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A.106 B.206 C.306 D.406

【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x-3)2+(y-4)2=25，过点(3,5)的最长弦为AC=10，最短弦为BD=252-12=46，S=12AC•BD=206.

总结提高

1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l=2R2-d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.

2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.

3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.

8.5　直线与圆的综合应用

典例精析

题型一　直线和圆的位置关系的应用

【例1】已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).

(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点;

(2)判断直线l与圆C的位置关系;

(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.

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