理科高三数学教案：三角函数

(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，

所以12cos π6t+1>1，所以cos π6t>0，

所以2kπ-π2<π6t<2kπ+π2，即12k-3

因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9

故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.

【点拨】用y=Asin(ωx+φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.

【变 式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d=Asin(ωt+φ)+k(A>0，ω>0，-π2<φ<π2)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A=10;②ω=2π15;③φ=π6;④k=5.其中正确结论的序号是　　　　　.

【解析】①②④.

题型三　正、余弦定理的应用

【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机 能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示);(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.

【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a;②测俯角∠MAB=φ，∠NAB=θ，∠MBA=β，∠NBA=γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB=π-φ-β，由正弦定理得

BM=ABsin φsin∠AMB=asin φsin(φ+β)，

同理在△BAN中，BN=ABsin θsin∠ANB=asin θsin(θ+γ)，

所以在△BMN中，由余弦定理得

MN=

=a2sin2φsin2(φ+β)+a2sin2θsin2(θ+γ)-2a2sin θsin φcos(γ-β)sin(φ+β)sin(θ+γ).

【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是　　　海里/小时.

【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB=10，∠OCB=60°，∠OCA=75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有OBOC=tan∠OCB=tan 60°且OAOC=tan∠OCA=tan 75°，

因此易得AB=OA-OB=OC(tan 75°-tan 60°)，即有

OC=ABtan 75°-tan 60°=10tan 75°-tan 60°

=10tan(30°+45°)-tan 60°

=10tan 30°+tan 45°1-tan 30°tan 45°-tan 60°=1013+11-13-3=5.

由此可得船的速度为5海里÷0.5小时=10海里/小时.

总结提高

1.解三角形的应用题时应注意：

(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等;

(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解;

(3)方程思想在解题中的运用.

2.解三角函数的综合题时应注意：

(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx+φ视为一个整体X;

(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y=Asin(ωx+φ)+B或y=asin2x+bsin x+c;

(3)换元方法在解题中的运用.

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