高三数学教案：压轴题放缩法技巧全总结

所以 .

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:

欲证明 ,只要证明: .

例60.已知数列 满足: ,求证:

解析: ,从而 ,所以有

,所以

又 ,所以 ,所以有

所以

所以综上有

引申:已知数列 满足: ,求证: .

解析:由上可知 ,又 ,所以

从而

又当 时, ,所以综上有 .

同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列 , , , .

记 , .求证:当 时.

(1) ; (2) ; ★(3) .

解析:(1) ,猜想 ,下面用数学归纳法证明:

(i)当 时, ,结论成立;

(ii)假设当 时, ,则 时,

从而 ,所以

所以综上有 ,故

(2)因为 则 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以

,所以

(3)因为 ,从而 ,有 ,所以有

,从而

,所以

,所以

所以综上有 .

例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列 的首项 , , .

(1)证明:对任意的 , , ;

(2)证明: .

解析:(1)依题,容易得到 ,要证 , , ,

即证

即证 ,设 所以即证明

从而 ,即 ,这是显然成立的.

所以综上有对任意的 , ,

(法二)

, 原不等式成立.

(2)由(1)知，对任意的 ，有

.

取 ，

则 .

原不等式成立.

十四、经典题目方法探究

探究1.(2008年福建省高考)已知函数 .若 在区间 上的最小值为 ,

令 .求证: .

证明:首先:可以得到 .先证明

(方法一) 所以

(方法二)因为 ,相乘得:

,从而 .

(方法三)设A= ,B= ,因为A

所以 , 从而 .

下面介绍几种方法证明

(方法一)因为 ,所以 ,所以有

(方法二) ,因为 ,所以

令 ,可以得到 ,所以有

(方法三)设 所以 ,

从而 ,从而

又 ,所以

(方法四)运用数学归纳法证明:

(i)当 时,左边= ,右边= 显然不等式成立;

(ii)假设 时, ,则 时, ,

所以要证明 ,只要证明 ,这是成立的.

这就是说当 时,不等式也成立,所以,综上有

探究2.(2008年全国二卷)设函数 .如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围.

解析:因为 ,所以

设 ,则 ,

因为 ,所以

(i)当 时, 恒成立,即 ,所以当 时, 恒成立.

(ii)当 时, ,因此当 时,不符合题意.

(iii)当 时,令 ，则 故当 时, .

因此 在 上单调增加.故当 时, ,

即 .于是，当 时，

所以综上有 的取值范围是

变式：若 ,其中

且 , ,求证:

.

证明：容易得到

由上面那个题目知道

就可以知道

★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.

解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 .

(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.

(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.

(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有

≥ , 这时a满足要求.

综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.

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