理科高三数学教案：几何证明总复习

(1)求证：DE是⊙O的切线;

(2) 若ACAB=25，求AFDF的值.

【解析】(1)证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，

所以OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，

又OD为半径，所以DE是⊙O的切线.

(2)过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，

OHOD=cos∠DOH=cos∠CAB=ACAB=25，

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，所以AH=7x.

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x，

又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF=AE∶OD=75，

所以AFDF=75.

【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于点F.

(1)求证：AF=CF;

(2)若ED=4，sin∠E=35，求CE的长.

【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且∠GDB+∠BDO=π2，所以∠ADF+∠BDO=π2，又因为在⊙O中OD=OB，∠BDO=∠OBD，所以∠ADF+∠OBD=π2.

在Rt△ABC中，∠A+∠CBA=π2，所以∠A=∠ADF，所以AF=FD.

又在Rt△ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，

又FD为⊙O的切线，所以FD=CF.

所以AF=CF.

方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，

又FD为⊙O的切线，所以FD=CF，且∠FDC=∠FCD.

又由BC为⊙O的直径可知，∠ADF+∠FDC=π2，∠A+∠FCD=π2，

所以∠ADF=∠A，所以FD=AF.

所以AF=CF.

(2)因为在直角三角形FED中，ED=4，sin∠E=35，所以cos∠E=45，所以FE=5.

又FD=3=FC，所以CE=2.

题型二　圆中有关定理的综合应用

【例2】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O 1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.

( 1)求证：AD∥EC;

( 2)若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.

【解析】(1)连接AB，因为AC是⊙O1的切线，所以∠BAC=∠D，

又因为∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，所以AD∥EC.

(2)方法一：因为PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

所以PA2=PB•PD，所以62=PB•(PB+9)，所以PB=3.

在⊙O2 中，由相交弦定理得PA•PC=BP•PE，所以PE=4.

因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

所以AD2=DB•DE=9×16，所以AD=12.

方法二：设BP=x， PE=y.

因为PA=6，PC=2，所以由相交弦定理得PA•PC=BP•PE，即xy=12.①

因为AD∥EC，所以DPPE=APPC，所以9+xy=62.②

由①②可得 或 (舍去)，所以DE=9+x+y=16.

因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2=DB•DE=9×16，所以AD=12.

【变式训练2】如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点， ，DE交AB于点F，且AB=2BP=4.

(1)求PF的长度;

(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.

【解析】(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠CDE=∠AOC.

又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，

从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，所以PFPC=PDPO.

由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故PF= =124=3.

(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，

因为OF=2-r=1，即r=1，

所以OB是 圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，

则PT2=PB•PO=2×4=8，即PT=22.

题型三　四点共圆问题

【例3】如图，圆O与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.

(1)求证：B、P、E、F四点共圆;

(2)若CD=2，CB=22，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.

【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.

又因为EF⊥CE，所以∠PBF+∠PEF=180°，所以∠EPB+∠EFB=180°，

所以B，P，E，F四点共圆.

(2)因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.

因为BC切圆P于点B，且CD=2，CB=22，

所以由切割线定理CB2=CD•CE，得CE=4，DE=2，BP=1.

又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EF∶PB=CE∶CB，得EF=2.

在Rt△FEP中，PF=PE2+EF2=3，

即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为3.

【变式训练3】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证：

(1)O，B，D，E四点共圆;

(2)2DE2=DM•AC+DM•AB.

【证明】(1)连接BE，则BE⊥EC.

又D是BC的中点，所以DE=BD.

又OE=OB，OD=OD，所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD=∠OED=90°，所以D，E，O，B四点共圆.

(2)延长DO交圆O于点H.

因为DE2=DM•DH=DM•(DO+OH)=DM•DO+DM•OH=DM•(12AC)+DM•(12AB)，

所以2DE2=DM•AC+DM•AB.

总结提高

1.直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.

本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据.

2.圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.

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