高三数学复习教案：函数的综合问题

综上所述，符合条件的函数有两个，

f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.

(文)已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：∵函数图象的对称轴是

x=- ，又b≥0，∴- ≤- .

设符合条件的f(x)存在，

①当- ≤-1时，即b≥1时，函数f(x)在[-1，0]上单调递增，则

②当-1<- ≤- ，即0≤b<1时，则

(舍去).

综上所述，符合条件的函数为f(x)=x2+2x.

7.已知函数f(x)=x+ 的定义域为(0，+∞)，且f(2)=2+ .设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.

(1)求a的值.

(2)问：|PM|•|PN|是否为定值?若是，则求出该定值;若不是，请说明理由.

(3)设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

解：(1)∵f(2)=2+ =2+ ，∴a= .

(2)设点P的坐标为(x0，y0)，则有y0=x0+ ，x0>0，由点到直线的距离公式可知，|PM|= = ，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1.

(3)由题意可设M(t，t)，可知N(0，y0).

∵PM与直线y=x垂直，∴kPM•1=-1，即 =-1.解得t= (x0+y0).

又y0=x0+ ，∴t=x0+ .

∴S△OPM= + ，S△OPN= x02+ .

∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN= (x02+ )+ ≥1+ .

当且仅当x0=1时，等号成立.

此时四边形OMPN的面积有最小值1+ .

探究创新

8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b).

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2>V1.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，

∴V1=(4-2x)2•x=4(x3-4x2+4x)(0

∴V1′=4(3x2-8x+4).

令V1′=0，得x1= ，x2=2(舍去).

而V1′=12(x- )(x-2)，

又当x< 时，V1′>0;当

∴当x= 时，V1取最大值 .

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③，将图②焊成长方体容器.

新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2>V1.

故第二种方案符合要求.

●思悟小结

1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.

2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.

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教学点睛

数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.

拓展题例

【例1】 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有 >0.

(1)若a>b，比较f(a)与f(b)的大小;

(2)解不等式f(x- )

(3)记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-c2)}，且P∩Q= ，求c的取值范围.

解：设-1≤x1

∴ >0.

∵x1-x2<0，∴f(x1)+f(-x2)<0.

∴f(x1)<-f(-x2).

又f(x)是奇函数，∴f(-x2)=-f(x2).

∴f(x1)

∴f(x)是增函数.

(1)∵a>b，∴f(a)>f(b).

(2)由f(x- )

∴- ≤x≤ .

∴不等式的解集为{x|- ≤x≤ }.

(3)由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，

∴P={x|-1+c≤x≤1+c}.

由-1≤x-c2≤1，得-1+c2≤x≤1+c2，

∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}.

∵P∩Q= ，

∴1+c<-1+c2或-1+c>1+c2，

解得c>2或c<-1.

【例2】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+ +2的图象关于点A(0，1)对称.

(1)求f(x)的解析式;

(2)(文)若g(x)=f(x)•x+ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围.

(理)若g(x)=f(x)+ ，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围.

解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(-x，2-y)在h(x)的图象上.

∴2-y=-x+ +2.

∴y=x+ ，即f(x)=x+ .

(2)(文)g(x)=(x+ )•x+ax，

即g(x)=x2+ax+1.

g(x)在(0，2]上递减 - ≥2，

∴a≤-4.

(理)g(x)=x+ .

∵g′(x)=1- ，g(x)在(0，2]上递减，

∴1- ≤0在x∈(0，2]时恒成立，

即a≥x2-1在x∈(0，2]时恒成立.

∵x∈(0，2]时，(x2-1)max=3，

∴a≥3.

【例3】在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)的函数关系如下图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.

(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数;

(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?并说明理由.

解：(1)由图形知，当1≤n≤m且n∈N*时，f(n)=5n-3.

由f(m)=57，得m=12.

∴f(n)=

前12天的销售总量为

5(1+2+3+…+12)-3×12=354件.

(2)第13天的销售量为f(13)=-3×13+93=54件，而354+54>400，

∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.

设第n天的日销售量开始低于30件(1221.

∴从第22天开始日销售量低于30件，

即流行时间为14号至21号.

∴该服装流行时间不超过10天.

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