2016年湖北图形的变换中考数学试题分类解析

再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB.类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′.这是B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.

【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1。

∴ 。

又B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E= ﹣1。

又∵AB″=AB′，∴AB″= ﹣1。

∴ 。∴点B″是线段AB的黄金分割点。

【考点】翻折(折叠)问题，正方形的性质，勾股定理，折叠对称的性质，黄金分割。

【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AB″的长，二者相比即可得到黄金比。

4. (2012湖北襄阳12分)如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处.分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.

(1)求AD的长及抛物线的解析式;

(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。

由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。

由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。

设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=(8﹣x)2，解得，x=3。

∴AD=3。

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，

∴ ，解得 。∴抛物线的解析式为： 。

(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，

由(1)可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴ ，即 ，解得 。

当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴ ，即 ，解得 。

∴当 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似。

(3)存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1(﹣4，﹣32)，N1(4，﹣38);

②M2(12，﹣32)，N2(4，﹣26);③M3(4， )，N3(4，﹣ )。

【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】(1)根据折叠图形的轴对称性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的长，从而可得到AE的长;在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长.进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

(2)由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。

(3)假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：

①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。

由 得抛物线顶点，则：M(4， )。

∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN必被EC中点(4，3)平分，则N(4，﹣ )。

②EC为平行四边形的边，则EC MN，

设N(4，m)，则M(4﹣8，m+6)或M(4+8，m﹣6);

将M(﹣4，m+6)代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，

此时 N(4，﹣38)、M(﹣4，﹣32);

将M(12，m﹣6)代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，

此时 N(4，﹣26)、M(12，﹣32)。

综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1(﹣4，﹣32)，N1(4，﹣38);

②M2(12，﹣32)，N2(4，﹣26);③M3(4， )，N3(4，﹣ )。

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