高三数学教案：数列复习教案

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本文题目：高三数学教案：数列复习教案

最新一年高中数学精讲精练 第五章 数列

【知识图解】

【方法点拨】

1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.

2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.

3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.

4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.

5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.

第1课　数列的概念

【考点导读】

1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;

2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;

3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 项和的问题。

【基础练习】

1.已知数列 满足 ，则 = 。

分析:由a1=0, 得 由此可知: 数列 是周期变化的,且三个一循环,所以可得:

2.在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 2n-1 。

3.设数列 的前n项和为 ， ，且 ，则 ____2__.

4.已知数列 的前 项和 ，则其通项 .

【范例导析】

例1.设数列 的通项公式是 ，则

(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?

(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;

(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项?

分析：70是否是数列的项，只要通过解方程 就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：(1)由 得： 或

所以70是这个数列中的项，是第13项。

(2)这个数列的前5项是 ;(图象略)

(3)由函数 的单调性： 是减区间， 是增区间，

所以当 时， 最小，即 最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。

例2.设数列 的前n项和为 ，点 均在函数y=3x-2的图像上,求数列 的通项公式。

分析：根据题目的条件利用 与 的关系： ，(要特别注意讨论n=1的情况)求出数列 的通项。

解：依题意得， 即 。

当n≥2时， ;

当n=1时， 所以 。

例3.已知数列{a ｝满足 ,

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 满足 ,证明： 是等差数列;

分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。

解：(I)

是以 为首项，2为公比的等比数列。

即

(II)

①

②;

②-①，得 即 ③

∴ 　④

③-④，得　 即　 是等差数列。

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

【反馈演练】

1.若数列 前8项的值各异，且 对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍 前8项值的数列为 (2) 。

(1) (2) (3) (4)

2.设Sn是数列 的前n项和，且Sn=n2，则 是 等差数列，但不是等比数列 。

3.设f(n)= (n∈N)，那么f(n+1)-f(n)等于 。

4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn= (21n-n2-5)(n=1，2，……，12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。

5.在数列 中， 则 505 。

6.数列 中，已知 ，

(1)写出 ， ， ; (2) 是否是数列中的项?若是，是第几项?

解：(1)∵ ，∴ ，

， ;

(2)令 ，解方程得 ，

∵ ，∴ ， 即 为该数列的第15项。

第2课　等差、等比数列

【考点导读】

1. 掌握等差、等比数列的通项公式、前 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题;

2. 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系;

3. 注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】

1.在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。

2.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是 ，第2项是 8 。

3.设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 。

4.公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】

例1.(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

13 项。

(2)设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

解：(1)答案：13

法1：设这个数列有n项

∵ ∴

∴n=13

法2：设这个数列有n项

∵

∴ ∴

又 ∴n=13

(2)答案：2 因为前三项和为12，∴a1+a2+a3=12，∴a2= =4

又a1•a2•a3=48， ∵a2=4，∴a1•a3=12，a1+a3=8，

把a1，a3作为方程的两根且a1

∴x2-8x+12=0，x1=6，x2=2，∴a1=2，a3=6，∴选B.

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。

例2.(1)已知数列 为等差数列，且

(Ⅰ)求数列 的通项公式;(Ⅱ)证明

分析：(1)借助 通过等差数列的定义求出数列 的公差，再求出数列 的通项公式，(2)求和还是要先求出数列 的通项公式，再利用通项公式进行求和。

解：(1)设等差数列 的公差为d，

由 即d=1。

所以 即

(II)证明：因为 ，

所以

点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。

例3.已知数列 的首项 ( 是常数，且 )， ( )，数列 的首项 ， ( )。

(1)证明： 从第2项起是以2为公比的等比数列;

(2)设 为数列 的前n项和，且 是等比数列，求实数 的值。

分析：第(1)问用定义证明，进一步第(2)问也可以求出。

解：(1)∵ ∴

(n≥2)

由 得 ， ，∵ ，∴ ，

即 从第2项起是以2为公比的等比数列。

(2)

当n≥2时，

∵ 是等比数列, ∴ (n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

【反馈演练】

1.已知等差数列 中， ，则前10项的和 = 210 。

2.在等差数列 中，已知 则 = 42 。

3.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。

4.如果 成等比数列，则 3 ， -9 。

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

解：(1)依题意有：

解之得公差d的取值范围为-

(2)解法一：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1<0,即

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