高三数学教案：不等式的解法

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本文题目：高三数学教案：不等式的解法

6.5 不等式的解法(二)

●知识梳理

1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);

|x|0).0)中的a>0改为a∈R还成立吗?

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2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.

4.绝对值不等式的性质：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

思考讨论

1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|

2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?

●点击双基

1.设a、b是满足ab<0的实数，那么

A.|a+b|>|a-b|

B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<||a|-|b||

D.|a-b|<|a|+|b|

解析：用赋值法.令a=1，b=-1，代入检验.

答案：B

2.不等式|2x2-1|≤1的解集为

A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}

解析：由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.

∴0≤x2≤1，即-1≤x≤1.

答案：A

3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为

A.(0，1) B.(1，+∞)

C.(0，+∞) D.(-∞，+∞)

解析：∵x>0，x与log3x异号，

∴log3x<0.∴0

答案：A

4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.

解析：要使a≤ 对x取一切负数恒成立，

令t=|x|>0，则a≤ .

而 ≥ =2 ，

∴a≤2 .

答案：a≤2

5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(- ， )，则t=____________.

解析：|2x-t|<1-t，t-1<2x-t<1-t，

2t-1<2x<1，t-

∴t=0.

答案：0

●典例剖析

【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.

剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x-2=0，得两个零点x1=- ，x2=2.

解：当x≤- 时，原不等式可化为

-2x-1+2-x>4，

∴x<-1.

当-

2x+1+2-x>4，

∴x>1.又-

∴1

当x>2时，原不等式可化为

2x+1+x-2>4，∴x> .

又x>2，∴x>2.

综上，得原不等式的解集为{x|x<-1或1

深化拓展

若此题再多一个含绝对值式子.如：

|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4，你又如何去解?

分析：令2x+1=0，x-2=0，x-1=0，

得x1=- ，x2=1，x3=2.

解：当x≤- 时，原不等式化为

-2x-1+2-x+1-x>4，∴x<- .

当-

2x+1+2-x+1-x>4，4>4(矛盾).

当1

2x+1+2-x+x-1>4，∴x>1.

又1

∴1

当x>2时，原不等式可化为

2x+1+x-2+x-1>4，∴x> .

又x>2，∴x>2.

综上所述，原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.

【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.

解法一：原不等式 (1) 或(2)

不等式(1) x=-3或3≤x≤4;

不等式(2) 2≤x<3.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.

解法二：原不等式等价于

或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.

【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)解关于x的不等式：f(x)≥2a2.

解：(1)当a=0时，

f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，

∴f(x)是奇函数.

当a≠0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.

故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

∴f(x)是非奇非偶函数.

(2)由题设知x|x-a|≥2a2，

∴原不等式等价于 ①

或 ②

由①得 x∈ .

由②得

当a=0时，x≥0.

当a>0时，

∴x≥2a.

当a<0时，

即x≥-a.

综上

a≥0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};

a<0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.

(文)设函数f(x)=ax+2，不等式| f(x)|<6的解集为(-1，2)，试求不等式 ≤1的解集.

解：|ax+2|<6，

∴(ax+2)2<36，

即a2x2+4ax-32<0.

由题设可得

解得a=-4.

∴f(x)=-4x+2.

由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.

解得x> 或x≤ .

∴原不等式的解集为{x|x> 或x≤ }.

●闯关训练

夯实基础

1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2}，B={x|3

A.{a|3

C.{a|3

解析：由题意知 得3≤a≤4.

答案：B

2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.

解析：-3

∴-3

答案：-3

3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.

解法一：|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

解法二： 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x≥-1.

解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离，∴x≥-1.

答案：{x|x≥-1}

评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.

4.当0

解：由0x-2.

这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

或 ②

解不等式组①得解集为{x| ≤x<2}，

解不等式组②得解集为{x|2≤x<5}，

所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.

5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.

解：x1、x2为方程两实根，

∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.

∴m≥ 或m≤ .

又∵x1•x2= >0，∴x1、x2同号.

∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.

于是有2|m-1|=2，∴m=0或2.

∴m=0.

培养能力

6.解不等式 ≤ .

解：(1)当x2-2<0且x≠0，即当-

(2)当x2-2>0时，原不等式与不等式组 等价.

x2-2≥|x|，即|x|2-|x|-2≥0.

∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2，

即x≤-2或x≥2.

∴原不等式的解集为(-∞，-2]∪(- ，0)∪(0， )∪[2，+∞).

7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解：由log2(x+3)+log x≤3得

x≥ ，

即f(x)的定义域为[ ，+∞).

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