高三数学复习教案：导数定积分复习学案

V= =

= (6+ =3g=29.4(米/秒)。

例2.求函数y= 的导数。

解析： ，

，

=- 。

点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。

题型2：导数的基本运算

例3.(1)求 的导数;

(2)求 的导数;

(3)求 的导数;

(4)求y= 的导数;

(5)求y= 的导数。

解析：(1) ,

(2)先化简,

(3)先使用三角公式进行化简.

(4)y’= = ;

(5) y= -x+5-

y’=3*(x )'-x'+5'-9 )'=3* -1+0-9*(- ) = 。

点评：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。

例4.写出由下列函数复合而成的函数：

(1)y=cosu,u=1+ (2)y=lnu, u=lnx

解析：(1)y=cos(1+ );

(2)y=ln(lnx)。

点评：通过对y=(3x-2 展开求导及按复合关系求导，直观的得到 = . .给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。

题型3：导数的几何意义

例5.(1)若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为( )

A. B. C. D.

(2)过点(-1，0)作抛物线 的切线，则其中一条切线为( )

(A) (B) (C) (D)

解析：(1)与直线 垂直的直线 为 ，即 在某一点的导数为4，而 ，所以 在(1，1)处导数为4，此点的切线为 ，故选A;

(2) ，设切点坐标为 ，则切线的斜率为2 ，且 ，于是切线方程为 ，因为点(-1，0)在切线上，可解得 =0或-4，代入可验正D正确，选D。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6.(1)半径为r的圆的面积S(r)= r2,周长C(r)=2 r，若将r看作(0，+∞)上的变量，则( r2)`=2 r ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，+∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2;○2式可以用语言叙述为： 。

(2)曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 。

解析：(1)V球= ，又 故○2式可填 ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”;

(2)曲线 和 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 。

点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。

题型4：借助导数处理单调性、极值和最值

例7.(1)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1) 0，则必有( )

A.f(0)+f(2)2f(1) B. f(0)+f(2)2f(1)

C.f(0)+f(2)2f(1) D. f(0)+f(2)2f(1)

(2)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点(　 )

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

(3)已知函数 。(Ⅰ)设 ，讨论 的单调性;(Ⅱ)若对任意 恒有 ，求 的取值范围。

解析：(1)依题意，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，+)上是增函数;当x1时，f(x)0，f(x)在(-，1)上是减函数，故f(x)当x=1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故选C;

(2)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，函数 在开区间 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。

(3)：(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2-a(1-x)2 e-ax。

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x2(1-x)2 e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数;

(ⅱ)当0

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x (-∞, -a-2a)

(-a-2a,a-2a) (a-2a,1) (1,+∞)

f '(x) + - + +

f(x) ↗ ↘ ↗ ↗

f(x)在(-∞, -a-2a), (a-2a,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-a-2a,a-2a)为减函数。

(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1;

(ⅱ)当a>2时, 取x0= 12 a-2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有1+x1-x >1且e-ax≥1，

得：f(x)= 1+x1-xe-ax≥1+x1-x >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。

例8.(1) 在区间 上的最大值是( )

(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

(2)设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值。

解析：(1) ，令 可得x=0或2(2舍去)，当-1x0时， 0，当0x1时， 0，所以当x=0时，f(x)取得最大值为2。选C;

(2)由已知得 ，令 ，解得 。

(Ⅰ)当 时， ， 在 上单调递增;

当 时， ， 随 的变化情况如下表：

极大值

极小值

从上表可知，函数 在 上单调递增;在 上单调递减;在 上单调递增。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当 时，函数 没有极值;当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值 。

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

题型5：导数综合题

例9.设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点.求

(I)求点 的坐标;

(II)求动点 的轨迹方程.

解析： (Ⅰ)令 解得 ;

当 时, ， 当 时, ，当 时， 。

所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 , 。

所以, 点A、B的坐标为 。

(Ⅱ) 设 ， ，

，

，所以 。

又PQ的中点在 上，所以 ，消去 得 。

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

例10.(06湖南卷)已知函数 ,数列{ }满足: 证明:(ⅰ) ;(ⅱ) 。

证明: (I).先用数学归纳法证明 ，n=1,2,3,…

(i).当n=1时,由已知显然结论成立。

(ii).假设当n=k时结论成立,即 。

因为0

又f(x)在[0,1]上连续，从而 .故n=k+1时,结论成立。

由(i)、(ii)可知， 对一切正整数都成立。

又因为 时， ，所以 ，综上所述 。

(II).设函数 ， ，

由(I)知，当 时， ，

从而 所以g (x)在(0,1)上是增函数。

又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0，所以当 时，g (x)>0成立。

于是 .故 。

点评：该题是数列知识和导数结合到一块。

题型6：导数实际应用题

例11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大?

本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 (单位：m)。

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