高三数学复习教案：导数定积分复习学案

于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：

。

帐篷的体积为(单位：m3)：

求导数，得 ;

令 解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。

当1

所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例12.已知函数f(x)=x + x ，数列|x |(x >0)的第一项x =1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过(0，0)和(x ,f (x ))两点的直线平行(如图)求证：当n 时，

(Ⅰ)x

(Ⅱ) 。

证明：(I)因为 所以曲线 在 处的切线斜率

因为过 和 两点的直线斜率是 所以 .

(II)因为函数 当 时单调递增，而

，

所以 ，即 因此

又因为 令 则

因为 所以

因此 故

点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

题型7：定积分

例13.计算下列定积分的值

(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;

解析：(1)

(2)因为 ，所以 ;

(3)

(4)

例14.(1)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时，阻力所作的功。

(2)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax.

解析：(1)物体的速度 。

媒质阻力 ，其中k为比例常数，k>0。

当x=0时，t=0;当x=a时， ，

又ds=vdt，故阻力所作的功为：

(2)依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-b/a，所以 (1)

又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2+(b+1)x-4=0，其判别式必须为0，即(b+1)2+16a=0.

于是 代入(1)式得：

， ;

令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3，且当00;当b>3时，S'(b)<0.故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且 。

点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。

五.思维总结

1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主

主要考查：

(1)函数的极限;

(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;

(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。

2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。

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