九年级数学上册培优训练试题

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 九年级数学上册培优训练试题

一、 二次根式的有关概念

1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数 ≥0.

2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.

例:二次根式 中,是最简二次根式的有____________________ ________.

下列各式中是最简二次根式的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

例:下面与 是同类二次根式的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

下列根式中与 是同类二次根式的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

二、 二次根式的性质

1. 非负性：二次根式 中被开方数 ≥0，且 ≥0.

2. ( ≥0).

3. .

三、 二次根式的运算

1. 乘法公式: ( ≥0, ≥0).

2. 积的算术平方根: ( ≥0, ≥0).

3. 除法公式: ( ≥0, ﹥0).

4. 商的算术平方根: ( ≥0, ﹥0).

5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并.

四、 典例研习

【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义?

; .

【变式探究】

1. 在实数范围内有意义,则 的取值范围是 .

2.使式子 无意义的 的取值是 .

3.使式子有意义的x的取值范围是 .

4.能使式子 有意义的 的取值范围是 .

5.若 ,则 的值为______________.

6. ,则 的值为 ( )

(A) (B) (C) (D)

【例2】若 <1,化简 等于 ( )

(A) (B) (C) (D)

【变式探究】

7.计算: .

8.已知 < ,化简二次根式 正确的结果是 ( )

(A) (B) (C) (D)

9.若 ,则 的取值范围为_____________________.

10.实数 在数轴上的点如图所示,

化简 _____________.

11.若 则 _____________.

【例3】计算(1) ; (2) .

【变式探究】

12.下列计算中:① ,② ,③ ,④ , ⑤ ,⑥ ,⑦ ,⑧ ,正确的是_____________________________________.(填写序号即可)

13.计算 ( ≥ ).

14.化简:

【综合训练】

1. 实数 在数轴上的点如图所示,

化简 _____________.

2.如图所示,数轴上表示2、 的对应点分别是C、B,

点C是AB的中点，则点A表示的数是 ( )

(A) (B) (C) (D)

3.已知 的整数部分为 ,小数部分为 ,则代数式的 值为____________.

4.如果 那么实数 的取值范围是 ( )

(A) (B) (C) ≤ ≤ (D) ≤ ≤

6.已知 ,求 的值.

5.化简:

(1) (2)

(其中 ≤ ≤ )

6.设 是△ABC三边的长,化简 的结果.

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