2016年数量和位置变化中考数学题分类解析

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

(I)若∠ADF=90°，∠EDF=120°-90°=30°。

在Rt△DEF中，DE= ，得EF=1，DF=2。

又∵E(t，3)，F(t，-t2+3)，∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。

∵t>0，∴t=1 。

此时 ，∴ 。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。

(II)若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则 。

设EF=m，则FB=3-m。

∴ ，即m2-3m+6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。

(III)由题意得，∠DAF<∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

② 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。

【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。

(2)①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：

(I)若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。

(II)若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。

(III)∠DAF≠90°，此时t不存在。

②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：

如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。

∵F(t，3-t2)，∴EF=3-(3-t2)=t2。∴EE′=2EF=2t2。

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得 。

又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t- 。∴MN=3-(t- )2，

又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2，

∴由MN≥C′N，得3-(t- )2≥3-2t2，即t2+2 t-3≥0。

求出t2+2 t-3=0，得 ，∴t2+2 t-3≥0即 。

∵ ，∴ ，解得t≥ 。

∴t的取值范围为： 。

2. (2012浙江嘉兴、舟山12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n].

(1)如图①，对△ABC作变换[60°， ]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=　 　;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　 　度;

(2)如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值;

(4)如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值.

【答案】解：(1) 3;60。

(2)∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°。

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.

在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°。

∴AB′=2 AB，即 。

(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′。

又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。∴∠C′AB′=∠BAC=36°。

而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA。∴AB：BB′=CB：AB。

∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)。

而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1(1+AB)，解得， 。

∵AB>0，∴ 。

【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。

【分析】(1)根据题意得：△ABC∽△AB′C′，

∴S△AB′C′：S△ABC= ，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。

(2)由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。

(3)由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)，继而求得答案。

3. (2012浙江丽水、金华10分)在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.

(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形;

(2)如图2，当点A的横坐标为 时，

①求点B的坐标;

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点?如果可以，说出变换的过程;如果不可以，请说明理由.

【答案】解：(1) -1。

(2)　①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

当x=- 时，y=(- )2= ，

即OE= ，AE= 。

∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，21世

∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠EAO=∠BOF。

又∵∠AEO=∠BFO=90°，∴△AEO∽△OFB。

∴ 。

设OF=t，则BF=2t，∴t2=2t，解得：t1=0(舍去)，t2=2。

∴点B(2，4)。

②过点C作CG⊥BF于点G，

∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠EOA=∠FBO，

∴∠EAO=∠CBG。

在△AEO和△BGC中，∠AEO=∠G=900，∠EAO=∠CBG,AO=BC，

∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG=OE= ，BG=AE= 。

∴xc=2- ，yc=4+ 。∴点C( )。

设过A(- ， )、B(2，4)两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得，

，得 。

∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2。

∵当x= 时，y=-( )2+3× +2= ，∴点C也在此抛物线上。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-(x- )2+ 。

平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线

y=-(x- )2+ 。

【考点】二次函数综合题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等和相似三角形的判定和性质，平移的性质。

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