高一数学练习：高一数学综合能力测试解答题六

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高一数学练习：高一数学综合能力测试解答题六

22.(本题满分14分)(09•福建文)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2.

(1)若cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0，求φ的值;

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

[解析]　解法一：(1)由cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0，

即cosπ4+φ=0.

又|φ|<π2，∴φ=π4;

(2)由(1)得，f(x)=sinωx+π4.

依题意，T2=π3.

又T=2πω，故ω=3，∴f(x)=sin3x+π4.

函数f(x)的图象向左平移m个单位后，所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+π4，

g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，

即m=kπ3+π12(k∈Z).

从而，最小正实数m=π12.

解法二：(1)同解法一.

(2)由(1)得，f(x)=sinωx+π4.

依题意，T2=π3.

又T=2πω，故ω=3，

∴f(x)=sin3x+π4.

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+π4.

g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立，

亦即sin-3x+3m+π4=sin3x+3m+π4对x∈R恒成立.

∴sin(-3x)cos3m+π4+cos(-3x)sin3m+π4

=sin3xcos3m+π4+cos3xsin3m+π4，

即2sin3xcos3m+π4=0对x∈R恒成立.

∴cos3m+π4=0，

故3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，

∴m=kπ3+π12(k∈Z)，

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