高一数学练习：高一数学综合能力测试解答题五

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高一数学练习：高一数学综合能力测试解答题五

21.(本题满分12分)(09•江苏文)设向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ)

(1)若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值;

(2)求|b+c|的最大值;

(3)若tanαtanβ=16，求证：a∥b.

[解析]　(1)∵a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，

c=(cosβ，-4sinβ)

∵a与b-2c垂直，∴a•(b-2c)=a•b-2a•c=4cosαsinβ+4sinαcosβ-2(4cosαcosβ-4sinαsinβ)

=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0，∴tan(α+β)=2.

(2)∵b+c=(sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ)

∴|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β

=17-30sinβcosβ=17-15sin2β，

当sin2β=-1时，最大值为32，

∴|b+c|的最大值为42.

(3)由tanαtanβ=16得sinαsinβ=16cosαcosβ

即4cosα•4cosβ-sinαsinβ=0，∴a∥b.

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