高三数学教案：抛物线复习

解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,

又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，

则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,

∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=

等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )

由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0

依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,

∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =

∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )

综合类(几何)

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?

解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程 联立，解出

直线OP的方程为 即

令 ，得M点纵坐标 得证.

由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.

思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证.

设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 .

又直线OP的方程为 ， ，得 .

因为 在抛物线上，所以 .

从而 .

这一证法运算较小.

思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 .

将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解(x ,y)就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.

说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.

例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.

分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.

解：设AB所在的直线方程为 .

将其代入抛物线方程 ，消去x得

当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.

设直线l方程为 .代入抛物线方程得

由 得 ，这时 .它到AB的距离为

∴△RAB的最大面积为 .

例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k.

(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;

(2)求出 的定义域及单调区间.

分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间.

解：(1)设 的方程为： ，将它代入方程 ，得

设 ，则

将 代入 得： ，即P点坐标为 .

由 ，知焦点 ，∴直线 的斜率

∴函数 .

(2)∵ 与抛物线有两上交点，∴ 且

解得 或

∴函数 的定义域为

当 时， 为增函数.

例4 如图所示：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.

证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;直线CD的斜率存在，且不为0.

设C、D的坐标分别为 与 .则

∴l的方程为

∵直线l平分弦CD

∴CD的中点 在直线l上，

即 ，化简得：

由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.

证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线

∵焦点F在直线l上，∴

由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等.

∵ ，

∴CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.

例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.

分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.

解法一：设

则： ，

， 即

， ①

把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： 显然

代入 化简整理得：

， ②

由①、②得： ，化简得

用x、y分别表示 得：

解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 ，则以OA为直径的圆方程为：

①

设 ，OA⊥OB，则

在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得

②

由①+②得：

例6如图所示，直线 和 相交于点M， ⊥ ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.

解：以 为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.

由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.

∴设曲线段C满足的抛物线方程为： 其中 、 为A、B的横坐标

令 则 ，

∴由两点间的距离公式，得方程组：

解得 或

∵△AMN为锐角三角形，∴ ，则 ，

又B在曲线段C上，

则曲线段C的方程为

例7如图所示，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.(1)求 .(2)求△ABQ面积的最大值.

分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出 .

解：(1)设

由 得： ，

由 得 ，

同 类似，

则 ，

(2)

，∴当 时， 取最大值 .

例8　已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程.

分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，

则有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，

则有 解得

解得

如图， 、 在抛物线上

∴

两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，

由 ， ，得 .把 代入，得 .

∴直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 .

解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，

又设 ，依题意，有 ， .

故 ， .

由 ，知 .

∴ ， .

又 ， ，故 为第一象限的角.

∴ 、 .

将 、 的坐标代入抛物线方程，得

∴ ，即 从而 ， ，

∴ ，得抛物线 的方程为 .

又直线 平分 ，得 的倾斜角为 .

∴ .

∴直线 的方程为 .

说明：

(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.

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