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高三数学教案：抛物线复习
[10-15 23:08:04] 来源：http://www.xiaozhibei.com 高三数学教案 阅读：9164次(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.
例9 如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积.
分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.
解：∵直线 ， ，∴设 的方程为 ，且 、 .
由方程组 ，消去 ，得 ，于是
， ，∴ (其中 )
∴ .
由已知， 为正方形， ，
∴ 可视为平行直线 与 间的距离，则有
，于是得 .
两边平方后，整理得， ，∴ 或 .
当 时，正方形 的面积 .
当 时，正方形 的面积 .
∴正方形 的面积为18或50.
说明：运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短距离.
分析：利用抛物线有关性质求解.
解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，
彗星位于点 处.直线 的方程为 .
解方程组 得 ，
故 .
.
故 ，得 .
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ，所以彗星与地球的最短距离为 或 ，( 点在 点的左边与右边时，所求距离取不同的值).
说明：
(1)此题结论有两个，不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11 如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值.
分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ，
∵ 为已知圆的直径，∴ ，则 .
设 、 ，∵ ，而 、 在抛物线上，
由已知可知，直线 方程为 ，于是，由方程组
消去 ，得 ，∴ .
∴ ，因此， .
说明：本题如果分别求 与 则很麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
(1)求证：|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F( ,0).
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•(x- ),与抛物线方程联立，消去y并整理，得
tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .
设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?
解析：(1)当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴ = .
(2)当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
将AB方程代入抛物线方程，得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,
∴
∴ =
= .
本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).
13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.
(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，
直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0•yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= (定值).
(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G(x,y)，则有
消去参数y0,得y2= (x>0).
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,-3)、N(5，1)，若点C满足 =t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.
(1)求证： ⊥ ;
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.
(1)证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= •(x-1),即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
(2)解析：存在点P(4，0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA•kOB= =-1.
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y)，
则x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.
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