理科高三数学教案：排列组合总复习

【解析】(1)易知an=1，令x=0得a0=n，所以a0+a1+…+an=30.

又令x=1，有2+22+…+2n=a0+a1+…+an=30，

即2n+1-2=30，所以n=4.

(2)由二项式定理得，

a1=-C1n=-n，a2=C2n=n(n-1)2，

代入已知得-5n+n(n-1)=0，所以n=6，

令x=-1得(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6，

即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64.

【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.

【变式训练2】设(3x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8.求a0+a2+a4+a6+a8的值.

【解析】令f(x)=(3x-1)8，

因为f(1)=a0+a1+a2+…+a8=28，

f(-1)=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=48，

所以a0+a2+a4+a6+a8=f(1)+f(-1)2=27×(1+28).

题型三　二项式定理的综合应用

【例3】求证：4×6n+5 n+1-9能被20整除.

【解析】4×6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+C1n5n-2+…+Cn-1n)+(4n-1+C1n4n-2+…+Cn-1n)]，是20的倍数，所以4×6n+5n+1-9能被20整除.

【点拨】用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a+b)n中，a，b中有一个是除数的倍数;其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.

【变式训练3】求0.9986的近似值，使误差小于0.001.

【解析】0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)1+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6.

因为T3=C26(-0.002)2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，

且第3项以后的绝对值都小于0.001，

所以从第3项起，以后的项都可以忽略不计.

所以0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.

总结提高

1.利用通项公式可求展开式中某些特定项(如常数项、有理项、二项式系数最大项等)，解决这些问题通常采用待定系数法，运用通项公式写出待定式，再根据待定项的要求写出n、r满足的条件，求出n和r，再确定所需的项;

2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段;

3.利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，使得二项展开式的每一项都成为除数的倍数.对于余数问题，要注意余数的取值范围.

12.4　随机事件的概率与概率的基本性质

典例精析

题型一　频率与概率

【例1】某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.

抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000

优等品数m 45 92 194 470 954 1 902

优等品频率

(1)计算表中乒乓球优等品的频率;

(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)

【解析】(1)依据公式 ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,

0.940,0.954,0.951.

(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.

【点拨】从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本稳定在0.95，在其附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等率.

【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.

投篮次数n 8 10 12 9 10 16

进球次数m 6 8 9 7 7 12

进球频率

(1)计算表中进球的频率;

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少?

【解析】(1)由公式计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为：

(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总在 附近摆动，可知该运动员进球的概率为 .

题型二　随机事件间的关系

【例2】从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;

(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.

【解析】(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.

(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生.

(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.

【点拨】要区分互斥事件和对立事件的定义.

【变式训练2】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为(　　)

A.至多两件次品 B.至多一件次品

C.至多两件正品 D.至少两件正品

【解析】根据对立事件的定义得选项B.

题型三　概率概念的应用

【例3】 甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计后，得到如下列联表.

优秀 非优秀 总计

甲 10

乙 30

总计 105

已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为 .

(1)请完成上面列联表;

(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K2>6.635)=0.05);

(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.

【解析】(1)

优秀 非优秀 总计

甲 10 45 55

乙 20 30 50

总计 30 75 105

(2)计算K2的一个观测值

k= =6.109.

因为6.109<6.635，所以没有95%的把握认为成绩与班级有关.

(3)记被抽取人的序号为ζ，

则P(ζ=6)= ，P(ζ=10)= ，

所以P(ζ=6或ζ=10)=P(ζ=6)+P(ζ=10)= = .

【点拨】本题考查概率的概念在实际生活中的应用.

【变式训练3】袋内有35个球，每个球上都记有从1~35中的一个号码，设号码为n的球的重量为 -5n+20克，这些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响).

(1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率;

(2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率.

【解析】(1)由不等式 -5n+20>n+5，得n>15或n<3，

由题意知n=1,2或者n=16,17，…，35，于是所求概率为 .

(2)设第n号和第m号的两个球的重量相等，

其中n

所以(n-m)(n+m-15)=0.

因为n≠m，所以n+m=15，

所以(n，m)=(1,14)，(2,13)，…，(7,8).

故所求概率为 .

总结提高

1.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件.集合A的对立事件记作 ，从集合的角度来看，事件 所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪ =U，A∩ = .对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.

事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.

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