理科高三数学教案：排列组合总复习

【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X=4)=C23C19C312=27220.选C.

总结提高

1.求离散型随机变量分布列的问题，需要综合运用排列、组合、概率等知识和方法.

2.求离散型随机变量ξ的分布列的步骤：

(1)求出随机变量ξ的所有可能取值xi(i=1,2,3，…);

(2)求出各取值的概率P(ξ=xi)=pi;

(3)列出表格.

12.9　独立重复试验与二项分布

典例精析

题型一　相互独立事件同时发生的概率

【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

【解析】(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.

由题 设条件有

即

由①③解得P(C)=23，将P(C)=23分别代入③②可得P(A)=13，P(B)=14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.

(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，

则P(D)=1-P( )=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-23×34×13=56.

故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.

【点拨】相互独立事件是发生的概率互不影响的两个或多个事件.两个相互独立事件同时发生的概率满足P(AB)=P(A)P(B)，对于求与“至少”、“至多”有关事件的概率，通常转化为求其对立事件的概率.

【变式训练1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.

(1)求乙至多击中目标2次的概率;

(2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

【解析】(1)乙至多击中目标2次的概率为1-C33(23)3=1927.

(2)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1、B2为互斥事件.

P(A)=P(B1)+P(B2)=38×127+18×29=124.

所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.

题型二　独立重复试验

【例2】(2010天津)某射手每次射击击中目标的概率是 23，且各次射击的结果互不影响.

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率;

(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率.

【解析】(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5，23).在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X=2)=C25×(23)2×(1-23)3=40243.

(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则

P(A)=P(A1A2A3 )+P( A2A3A4 )+P( A3A4A5)=(23)3×(13)2+13×(23)3×13+(13)2×(23)3=881.

【点拨】独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验成功的概率都相同，恰有k次试验成功的概率为Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k.

【变式训练2】袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13.从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.

(1)求恰好摸5次停止的概率;

(2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求P(ξ≥2).

【解析】(1)P=C24×(13)2×(23)2×13=881.

(2)P(ξ=2)=C25×(13)2×(1-13)3=80243，

P(ξ=3)=C35×(13)3×(1-13)2=40243，

则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=4081.

题型三　二项分布

【例3】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率为13.

(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列;

(2)设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列;

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

【解析】(1)依题意知X～B(6，13)，

P(X=k)=Ck6(13)k(23)6-k，k=0,1,2,3,4,5,6.

所以X的分布列为

X 0 1 2 3

P

X 4 5 6

P

(2)依题意知Y可取0,1,2,3,4,5,6，

P(Y=0)=13，

P(Y=1)=13×23=29，

P(Y=2)=13×(23)2=427，

P(Y=3)=13×(23)3=881，

P(Y=4)=13×(23)4=16243，

P(Y=5)=13×(23)5=32729，

P(Y=6)=(23)6=64729，

所以Y的分布列为

Y 0 1 2 3 4 5 6

P

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为

P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(23)6=665729.

【点拨】解决离散型随机变量的分布列问题时，要依据相关概念识别离散型随机变量服从什么分布，如第(1)问中X服从二项分布，而第(2)问中并不服从二项分布.

【变式训练3】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求随机变量ξ的分布列.

【解析】方法一：ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.

P(ξ=0)=2535=32243，P(ξ=1)= =80243，

P(ξ=2)= =80243，P(ξ=3)= =40243，

P(ξ=4)= =10243，P(ξ=5)=135=1243.

从而ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 4 5

P

方法二：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.

故ξ～B(5，13)，即有

P(ξ=k)=Ck5(13)k(23)5-k，k=0,1,2,3,4,5.

由此计算ξ的分布列如方法一.

总结提高

独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可能结果：成功和失败.n次试验中A恰好出现了k次的概率为Cknpk(1-p)n-k，这k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，则概率为pk(1-p)n-k.

12.10　离散型随机变量的期望与方差

典例精析

题型一　期望与方差的性质的应用

【例1】设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=16(k=1,2,3,4,5,6)，求E(ξ)，E(2ξ+3)和D(ξ)，D(2ξ+3).

【解析】E(ξ)=x1p1+x2p2+…+x6p6=3.5，

E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=10，

D(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+…+(x6-E(ξ))2p6=3512，D(2ξ+3)=4D(ξ)=353.

【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.

【变式训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.

(1)求ξ的分布列、期望和方差;

(2)若η=aξ+b，E(η)=1，D(η)=11，试求a，b的值.

【解析】(1)ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3 4

P

所以E(ξ)=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5，

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