理科高三数学教案：排列组合总复习

D(ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.

(2)由D(η)=a2D(ξ)，得a2×2.75=11，即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b，

所以当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2;

当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4.

所以 或

题型二　期望与方差在风险决策中的应用

【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：

ξ 0 1 2

P

η 0 1 2

P

试对这两名工人的技术水平进行比较.

【解析】工人甲生产出的次品数ξ的期望和方差分别为：

E(ξ)=0×610+1×110+2×310=0.7，

D(ξ)=(0-0.7)2×610+(1-0.7)2×110+(2-0.7)2×310=0.81.

工人乙生产出的次品数η的期望和方差分别为：

E(η)=0×510+1×310+2×210=0.7，D(η)=(0-0.7)2×510+(1-0.7)2×310+(2-0.7)2×210=0.61.

由E(ξ)=E(η)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(ξ)>D(η)，可见乙的技术比较稳定.

【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.

【变式训练2】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　　.

【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：

50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;

70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;

-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;

98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.故选A3.

题型三　离散型随机变量分布列综合问题

【例3】(2010浙江)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖.

(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ);

(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).

【解析】(1)由题意得ξ的分布列为

ξ 50% 70% 90%

p

则E(ξ)=316×50%+38×70%+716×90%=34.

(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916.由题意得η～(3，916)，则P(η=2)=C23(916)2(1-916)=1 7014 096.

【变式训练3】(2010北京市东城区)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为127.

(1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率;

(2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ).

【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有C33•P3=127，解得

P=13.

所以抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为P3(2)=C23×(13)2×23=29.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.

P(ξ=0)=C03×(23)3×12=427;

P(ξ=1)=C03×(23)3×12+C13×13×(23)2×12=1027;

P(ξ=2)=C13×13×(23)2×12+C23×(13)2×23×12=13;

P(ξ=3)=C23×(13)2×23×12+C33×(13)3×12=754;

P(ξ=4)=C33×(13)3×12=154.

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 4

P

E(ξ)=0×427+1×1027+2×13+3×754+4×154=32.

总结提高

1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均; E(ξ)是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E(ξ)是不变的，它描述ξ取值的平均状态.

2.方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度，统计中常用标准差D(ξ)描述ξ的分散程度.

12.11　正态分布

典例精析

题型一　研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为122π，求总体位于区间[-4，-2]的概率.

【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ=0，由最大值为122π知σ=2，

所以P(-2≤x≤2)=P(μ-σ≤x≤μ+σ)=0.682 6，

P(-4≤x≤4)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)=0.954 4，

所以P(-4≤x≤-2)=12×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.

【点拨】应当熟记：

P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.682 6;

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 4;

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997 4.

【变式训练1】设X~N(1,22)，试求：

(1)P(-1

(2)P(X≥5).

【解析】因为X～N(1,22)，所以μ=1，σ=2.

(1)P(-1

(2)因为P(X≥5)=P(X≤-3)，

所以P(X≥5)=12[1-P(-3

=12[1-P(1-4

=12[1-P(μ-2σ

=12(1-0.954 4)=0.022 8.

题型二　利用正态总体密度函数估计某区间的概率

【例2】 已知某地区数学考试的成绩X~N(60,82)(单位：分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人?

【解析】由题意μ=60，σ=8，

因为P(μ-σ

所以P(52

又此正态曲线关于x=60对称，

所以P(60

从而估计在60分到68分之间约有341 3人.

【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(μ-σ，μ+σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.

【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.

【解析】由μ=30，σ=10，P(μ-σ

总结提高

1.服从正态分布的随机变量X的概率特点

若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X=a)=0，而{X=a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X

2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法

(1)熟记P(μ-σ

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

①正态曲线关于直线x=μ对称，从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.

②P(X

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