-
教学频道 小学语文教学 小学数学教学 小学英语教学 小学思想品德 小学音乐 小学美术 小学体育 小学科学 教育范文 班主任工作
计划总结 教学反思 小学家长专区 小升初 初中学习网 高中学习网 中考复习 高考复习 中小学试卷 中小学课件 中小学教案
-
高三理科数学复习教案:数列总复习
[10-15 23:13:07] 来源:http://www.xiaozhibei.com 高三数学教案 阅读:9772次所以{an}是以首项为a1,公比为q=3的等比数列.
所以an=a1•3n-1.
(2)因为Sn=a1(1-qn)1-q=-12a1+12a1•3n,所以bn=1-Sn=1+12a1-12a1•3n.
要使{bn}为等比数列,当且仅当1+12a1=0,即a1=-2,此时bn=3n.
所以{bn}是首项 为3,公比为q=3的等比数列.
所以{bn}能为等比数列,此时a1=-2.
【变式训练3】已知命题:若{an}为等 差数列,且am=a,an=b(m0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m
【解析】n-mbnam.
总结提高
1.方程思想,即等比数列{an}中五个量a1,n,q,an,Sn,一般可“知三求二”,通过求和与通项两公式列方程组求解.
2.对于已知数列{an}递推公式an与Sn的混合关系式,利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),再引入辅助数列,转化为等比数列问题求解.
3.分类讨论思想:当a1>0,q>1或a1<0,00,01时,{an}为递减数列;q<0时,{an}为摆动数列;q=1时,{an}为常数列.
6.4 数列求和
典例精析
题型一 错位相减法求和
【例1】求和:Sn=1a+2a2+3a3+…+nan.
【解 析】(1)a=1时,Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2.
(2)a≠1时,因为a≠0,
Sn=1a+2a2+3a3+…+nan,①
1aSn=1a2+2a3+…+n-1an+nan+1.②
由①-②得(1-1a)Sn=1a+1a2+…+1an-nan+1=1a(1-1an)1-1a-nan+1,
所以Sn=a(an-1)-n(a-1)an(a-1)2.
综上所述,Sn=
【点拨】(1)若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则求数列{an•bn}的前n项和时,可采用错位相减法;
(2)当等比数列公比为字母时,应对字母是否为1进行讨论;
(3)当将Sn与qSn相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号.
【变式训练1】数列{2n-32n-3}的前n项和为( )
A.4-2n-12n-1 B.4+2n-72n-2 C.8-2n+12n-3 D.6-3n+22n-1
【解析】取n=1,2n-32n-3=-4.故选C.
题型二 分组并项求和法
【例2】求和Sn=1+(1+12)+(1+12+14)+…+(1+12+14+…+12n-1).
【解析】和式中第k项为ak =1+12+14+…+12k-1=1-(12)k1-12=2(1-12k).
所以Sn=2[(1-12)+(1-122)+…+(1-12n)]
= -(12+122+…+12n)]
=2[n-12(1-12n)1-12]=2[n-(1-12n)]=2n-2+12n-1.
【变式训练2】数列1, 1+2, 1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为( )
A.2n-1 B.n•2n-n
C.2n+1-n D.2n+1-n-2
【解析】an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,
Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2n+1-n-2.故选D.
题型三 裂项相消法求和
【例3】数列{an}满足a1=8,a4=2,且an+2-2an+1+an=0 (n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1n(14-an)(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*),若对任意非零自然数n,Tn>m32恒成立,求m的最大整数值.
【解析】(1)由an+2-2an+1+an=0,得an+2-an+1=an+1-an,
从而可知数列{an}为等差数列,设其公差为d,则d=a4-a14-1=-2,
所以an=8+(n-1)×(-2)=10-2n.
(2)bn=1n(14-an)=12n(n+2)=14(1n-1n+2),
所以Tn=b1+b2+…+bn=14[(11-13)+(12-14)+…+(1n-1n+2)]
=14(1+12-1n+1-1n+2)=38-14(n+1)-14(n+2)>m32 ,
上式对一切n∈N*恒成立.
所以m<12-8n+1-8n+2对一切n∈N*恒成立.
对n∈N*,(12-8n+1-8n+2)min=12-81+1-81+2=163,
所以m<163,故m的最大整数值为5.
【点拨】(1)若数列{an}的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.
(2)使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.
【变式训练3】已知数列{an},{bn}的前n项和为An,Bn,记cn=anBn+bnAn-anbn(n∈N*),则数列{cn}的前10项和为( )
A.A10+B10 B.A10+B102 C.A10B10 D.A10B10
【解析】n=1,c1=A1B1;n≥2,cn=AnBn-An-1Bn-1,即可推出{cn}的前10项和为A10B10,故选C.
总结提高
1.常用的 基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征,分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本,也是关键.
2.数列求和实质就是求数列{Sn}的通项公式,它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧,对学生的知识和思维有很高的要求,应充分重视并系统训练.
6.5 数列的综合应用
典例精析
题型一 函数与数列的综合问题
【例1】已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)设a是常数,求证:{an}成等比数列;
(2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a=2时,求Sn.
【解析】(1)f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,所以an=a2n+2,
所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n≥2)为定值,所以{an}为等比数列.
(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2,
当a=2时,bn=(2n+2) •(2)2n+2=(n+1) •2n+2,
Sn=2•23+3•24+4•25+…+(n+1 ) •2n+2,
2Sn=2•24+3•25+…+n•2n+2+(n+1)•2n+3,
两式相减得
-Sn=2•23+24+25+…+2n+2-(n+1)•2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)•2n+3,
所以Sn=n•2n+3.
【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一,特征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解.
【变式训练1】设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )
A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn+1 D.n+1n
【解析】由f′(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2,a=1.
所以f(x)=x2+x,则1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1.
所以Sn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故选C.
题型二 数列模型实际应用问题
【例2】某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到2009年底全县的绿化率已达30%,从2010年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的4%又被沙化.
(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1=310,经过n年绿化面积为an+1,求证:an+1=45an+425;
(2)至少需要多少年(取整数)的努力,才能使全县的绿化率达到60%?
【解析】(1)证明:由已知可得an 确定后,an+1可表示为an+1=an(1-4%)+(1-an)16%,
即an+1=80%an+16%=45an+425.
(2)由an+1=45an+425有,an+1-45=45(an-45),
又a1-45=-12≠0,所以an+1-45=-12•(45)n,即an+1=45-12•(45)n,
若an+1≥35,则有45-12•(45)n≥35,即(45)n-1≤12,(n-1)lg 45≤-lg 2,
(n-1)(2lg 2-lg 5)≤-lg 2,即(n-1)(3lg 2-1)≤-lg 2,
所以n≥1+lg 21-3lg 2>4,n∈N*,
所以n取最小整数为5,故至少需要经过5年的努力,才能使全县的绿化率达到60%.
【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题,通过反复读题,列出有关信息,转化为数列的有关问题.
【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进3步,然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点,面向正方向,以1步的距离为1单位长移动,令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标,且P(0)=0,则下列结论中错误的是( )
标签: 暂无联系方式 高三数学教案
相关文章