九年级上册数学期中试题及答案解析

解答： 解：如图，连接BE，AE，过点A作AF⊥BE于点F，

∵由题意得：AB= = ，AE= = ，BE= = ，

∴AE=AB，

∴BF= BE= ，

∴在Rt△ABF中，AF= = ，

∴sin∠ABF= = = ，

∵CD∥BE，

∴∠APD=∠ABE，

∴sin∠APD= .

故答案为： .

点评： 此题考查了三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

三、解答题

19.(8分)计算： .

考点： 特殊角的三角函数值;实数的性质;零指数幂;负整数指数幂;二次根式的性质与化简..

专题： 计算题.

分析： 按照实数的运算法则依次计算，注意(π﹣3.14)0=1，(﹣ )﹣1=﹣2.

解答： 解：原式=1+(﹣2)+ ﹣4×

=1﹣2+3﹣ ﹣

=2﹣ .

点评： 本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1，a﹣p= .

20.(8分)先化简，再求值：( ) ，其中a满足a2+a﹣1=0.

考点： 分式的化简求值..

专题： 计算题.

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由已知方程求出a的值，代入计算即可求出值.

解答： 解：∵a2+a﹣1=0，即a2=﹣(a﹣1)，

∴原式= ÷

= •

=

=

=﹣1.

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式.

21.(8分)关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2.

(1)求p的取值范围;

(2)若 ，求p的值.

考点： 根的判别式;根与系数的关系..

专题： 计算题.

分析： (1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0，即12﹣4×1×(p﹣1)≥0，解不等式即可得到p的取值范围;

(2)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的定义得到x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，则有x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，然后把它们整体代入所给等式中得到(﹣p+1﹣2)(﹣p+1﹣2)=9，解方程求出p，然后满足(1)中的取值范围的p值即为所求.

解答： 解：(1)∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，

∴△≥0，即12﹣4×1×(p﹣1)≥0，解得p≤ ，

∴p的取值范围为p≤ ;

(2)∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，

∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，

∴x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，

∴(﹣p+1﹣2)(﹣p+1﹣2)=9，

∴(p+1)2=9，

∴p1=2，p2=﹣4，

∵p≤ ，

∴p=﹣4.

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的定义.

22.(8分)如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C.求证：AB=CD.

考点： 圆心角、弧、弦的关系..

专题： 证明题.

分析： 连接BO，OD，利用等腰三角形性质证圆心角相等，即可得出AB=CD.

解答： 解：连接BO，OD，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B，

∵OC=OD，

∴∠C=∠D，

∵∠A=∠C，

∴∠AOB=∠COD，

∴AB=CD.

点评： 此题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦，以及全等三角形的判定和性质.

23.(10分)(2006•上海)已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB= .

求：(1)线段DC的长;

(2)tan∠EDC的值.

考点： 解直角三角形;直角三角形斜边上的中线..

专题： 计算题.

分析： (1)在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长;

(2)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C=∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值.

解答： 解：(1)∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，

在Rt△ABD中，

∵sinB= ，AD=12，

∴ ，

∴AB=15，

∴BD= ，

又∵BC=14，

∴CD=5;

(2)在Rt△ACD中，

∵E为斜边AC的中点，

∴ED=EC= AC，

∴∠C=∠EDC，

∴tan∠EDC=tanC= .

点评： 此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点.

24.(10分)国家为了加强对房地产市场的宏观调控，抑制房价的过快上涨，规定购买新房满5年后才可上市转卖，对二手房买卖征收差价的x%的附加税.某城市在不征收附加税时，每年可成交10万套二手房;征收附加税后，每年减少0.1x万套二手房交易.现已知每套二手房买卖的平均差价为10万元.如果要使每年征收的附加税金为16亿元，并且要使二手房市场保持一定的活力，每年二手房交易量不低于6万套.问：二手房交易附加税的税率应确定为多少?

考点： 一元二次方程的应用..

分析： 国家征收的附加税金总额=二手房的销售额(即单价×销售量)×征收的税率.以此可得出方程，然后根据“不低于6万套”舍去不合题意的解.

解答： 解：设税率应确定为x%，

根据题意得10(10﹣0.1x)•x%=16，

x2﹣100x+1600=0，

解得x1=80，x2=20，

当x2=80时，10﹣0.1×80=2<6，不符合题意，舍去，

x1=20时，100﹣0.1×20=8>6，

答：税率应确定为20%.

点评： 此题考查了一元二次方程的应用，此题不仅是一道实际问题，而且结合了现在房价问题，是一个比较典型的题目.

25.(10分)(2011•宁波)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.

(1)求证：DE∥BF;

(2)若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形.

考点： 菱形的判定;平行四边形的性质..

专题： 证明题;压轴题.

分析： (1)根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，

(2)先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论.

解答： 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD.

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE= AB，DF= CD.

∴BE=DF，BE∥DF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∴DE∥BF;

(2)∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，

∴四边形AGBD是矩形，

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