九年级上册数学期中试题及答案解析

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中

∵E为AB的中点，

∴DE=BE，

∵四边形DFBE是平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形.

点评： 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中.

26.(10分)如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据： ≈1.732)

(1)若修建的斜坡BE的坡度为1：0.8，则平台DE的长为　14.0　米;

(2)斜坡前的池塘内有一座建筑物GH，小明在平台E处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HEM)为30°，测得建筑物顶部H在池塘中倒影H′的俯角为45°(即∠H′EM)，测得点B、C、A、G、H、H′在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的长.

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题;解直角三角形的应用-仰角俯角问题..

分析： (1)由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长;

(2)首先设GH=x米，由三角函数的定义，即可求得GH的长，继而求得答案.

解答： 解：(1)∵FM∥CG，

∴∠BDF=∠BAC=30°，

∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，

∴BD=30米，

∴DF=BD•cos∠BDF=30× =15 ≈25.98(米)，BF=BD•sin∠BDF=30× =15(米)，

∵斜坡BE的坡度为1：0.8，

∴ = ，

解得：EF=12(米)，

∴DE=DF﹣EF=25.98﹣12≈14.0(米);

故答案为：14.0;

(2)设GH=x米，

则MH=GH﹣GM=x﹣15(米)，GH′=GH=x米，MH′=GH′+GM=x+15(米)，

在Rt△EMH中，tan30°= = ，

在Rt△EMH′中，tan45°= =1，

∴ = ，

即 = ，

解得：x=56.0，

即GH=56.0米，

∵∠BEF=∠DEH′=45°，

∴EF=BF=15(米)，

∴EM=MH′=x+15=71.0(米)，

∴FM=EF+EM=15+71.0=86.0(米)，

∴CG=FM=86.0米，

∵AC=AB•cos30°=60× =30 ≈52.0(米)，

∴AG=CG﹣AC=86.0﹣52.0=34.0(米).

答：建筑物GH的高为56.0米，AG的长约为34.0米.

点评： 此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义.此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形;注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

27.(12分)(2011•盘锦)已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°<α<90°，连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB;

(2)当α=60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;

(3)若∠CEF=90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.

考点： 菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..

专题： 综合题;压轴题.

分析： (1)利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB(SAS)证明△AGD≌△AEB即可;

(2)当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长;

(3)当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC﹣ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可.

解答： 解：(1)∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，

∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α.

∵四边形AEFG是菱形，

∴AD=AB.

∴AG=AE.

∴△AGD≌△AEB.(3分)

(2)解法一：如图(1)，当α=60°时，AE与AD重合，(4分)

作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5.

∴∠CDH= ∠CDF=60°，CH= CF.

在Rt△CDH中，

∵CH=DCsin60°=5× = ，(6分)

∴CF=2CH=5 .(7分)

解法二：如图(1)，当α=60°时，AE与AD重合，(4分)

连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O.

由题意，知AF=AC，∠FAC=60°.

∴△AFC是等边三角形.

∴FC=AC.

由已知，∠DAO= ∠BAD=30°，AC⊥BD，

∴AO=ADcos30°= .(6分)

∴AC=2AO=5 .

∴FC=AC=5 .(7分)

(3)如图(2)，当∠CEF=90°时，(8分)

延长CE交AG于M，连接AC.

∵四边形AEFG是菱形，

∴EF∥AG.

∵∠CEF=90°，

∴∠GME=90°.

∴∠AME=90°.(9分)

在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，

∴AM=AEcos60°= ，EM=AEsin60°= .

在Rt△AMC中，易求AC=5 ，

∴MC= = .

∴EC=MC﹣ME= ﹣ ，

= ( ﹣ ).(11分)

∴S△CEF= •EC•EF= .(12分)

点评： 本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大.

28.(12分)如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤5).解答下列问题：

(1)当t为何值时，△APQ是直角三角形?

(2)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在求出此时t的值;若不存在，请说明理由;

(3)把△APQ沿AB(或沿AC)翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形?若能，求出此时菱形的面积;若不能，请说明理由.

考点： 相似形综合题..

专题： 压轴题.

分析： (1)表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解;

(2)先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△<0，确定不存在;

(3)根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD= AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解;关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解.

解答： 解：(1)∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，

∴AP=10﹣2t，AQ=t，

如图1，∠AQP=90°时，cos∠A= = ，

∴ = ，

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