2016年浙江省中考数学函数的图象与性质试题分类解析

∴最大值为8。

【考点】二次函数的最值。

【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围，然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。

2. (2012浙江杭州12分)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1，k)和点B(﹣1，﹣k).

(1)当k=﹣2时，求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值.

【答案】解：(1)当k=﹣2时，A(1，﹣2)，

∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为： 。

将A(1，﹣2)代入得： ，解得：m=﹣2。

∴反比例函数的解析式为： 。

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k<0。

∵二次函数y=k(x2+x﹣1)= ，∴它的对称轴为：直线x=﹣ 。

要使二次函数y=k(x2+x﹣1)满足上述条件，在k<0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x<﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大。

∴综上所述，k<0且x<﹣ 。

(3)由(2)可得：Q 。

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，(如图是其中的一种情况)

∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。

作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。

∴ 。

∵ ，

∴ ，解得：k=± 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。

【分析】(1)当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为： ，利用待定系数法即可求得答案;

(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k<0。

又由二次函数y=k(x2+x﹣1)的对称轴为x=﹣ ，可得x<﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大。

(3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q ，A(1，k)，即可得 ，从而求得答案。

3. (2012浙江湖州6分)如图，已知反比例函数 (k≠0)的图象经过点(-2，8).

(1)求这个反比例函数的解析式;

(2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由.

【答案】解：(1)把(-2，8)代入 ，得 ，解得：k=-16。

∴这个反比例函数的解析式为 。 (2)y1

∵k=-16<0，∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大。

∵点(2，y1)，(4，y2)都在第四象限，且2<4，

∴y1

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】(1)把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解。

(2)根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大解答。

4. (2012浙江嘉兴、舟山10分)如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于点A(2，3)和点B，与x轴相交于点C(8，0).

(1)求这两个函数的解析式;

(2)当x取何值时，y1>y2.

【答案】解：(1)把 A(2，3)代入 ，得m=6。

∴反比例函数的解析式为 。

把 A(2，3)、C(8，0)代入y1=kx+b，得

，解得 。

∴一次函数的解析式为y1= x+4。

(2)由题意得 ，解得 ， 。

∴从图象可得，当x<0 或 2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)将A、B中的一点代入 ，即可求出m的值，从而得到反比例函数解析式;把 A(2，3)、C(8，0)代入y1=kx+b，可得到k、b的值，从而得到一次函数解析式。

(2)求出反比例函数与一次函数图象的交点坐标，根据图象可直接得到y1>y2时x的取值范围。

5. (2012浙江嘉兴、舟山12分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时，日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)

(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　 　元(用含x的代数式表示);

(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元?

(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏?

6. (2012浙江嘉兴、舟山14分)在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ，交y轴于点M.作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.

(1)如图1，当m= 时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值;

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标;

(2)如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E.

①用含m的代数式表示点Q的坐标;

②求证：四边形ODME是矩形.

【答案】解：(1)①把x= 代入 y=x2，得 y=2，∴P( ，2)，∴OP= 。

∵PA丄x轴，∴PA∥MO.∴ 。

②设 Q(n，n2)，∵tan∠QOB=tan∠POM，∴ .∴ 。

∴Q( )。∴OQ= 。

∴当 OQ=OC 时，则C1(0， )，C2(0，- )。

当 OQ=CQ 时，则 C3(0，1)。

(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，m2)。设 Q(n，n2)，

∵△APO∽△BOQ，∴ 。∴ ，得 。

∴Q( )。

②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P(m，m2)、Q( )代入，得：

，解得b=1。∴M(0，1)。

∵ ，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。

∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。

同理可证：EM∥OD。

又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。

【分析】(1)①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。

②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：

QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定;

QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。

(2)①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。

②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。

7. (2012浙江丽水、金华8分)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y= (k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4.

(1)求该双曲线所表示的函数解析式;

(2)求等边△AEF的边长.

【答案】解：(1)　过点C作CG⊥OA于点G，

∵点C是等边△OAB的边OB的中点，

∴OC=2，∠ AOB=60°。∴OG=1，CG= ，

∴点C的坐标是(1， )。由 ，得：k= 。

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