2016年浙江省中考数学函数的图象与性质试题分类解析

11. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少?

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有，说明理由。

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。

【答案】解：(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm。

则(40-2x)2=484，解得 (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为9cm。

②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系为： ，

∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。

(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。

则 ，

解得： (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为15cm。

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】(1)①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出(40-2x)2=484，求出即可

②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4(40-2x)x，利用二次函数最值求出即可。

(2)假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。

12. (2012浙江台州8分)如图，正比例函数y=kx(x≥0)与反比例函数 的图象交于点

A(2，3)，

(1)求k，m的值;

(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.

【答案】解：(1)把(2，3)代入y=kx得：3=2k，∴ k= 。

把(2，3)代入 得：m=6。

(2)x>2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，正比例函数和反比例函数图象的性质。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A(2，3)分别代入y=kx和 即可求得k，m的值。

(2)由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方，∴自变量x的取值范围是x>2。

13. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系得部分数据如下表：

时间t(秒) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …

行驶距离s(米) 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …

(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;

(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式;

(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?

②当t分别为t1，t2(t1

【答案】解：(1)描点图所示：

(2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2+bt+c，

∵抛物线经过点(0，0)，∴c=0。

又由点(0.2，2.8)，(1，10)可得：

，解得： 。

经检验，其余各点均在s=-5t2+15t上。

∴二次函数的解析式为： 。

(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

∵ ，∴当t= 时，滑行距离最大，为 。

因此，刹车后汽车行驶了 米才停止。

②∵ ，∴ 。

∴ 。

∵t1

其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】(1)描点作图即可。

(2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。

(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求)，即可求得答案。

(4)求出 与 ，用差值法比较大小。

14. (2012浙江温州14分)如图，经过原点的抛物线 与x轴的另一个交点为A.过点 作直线 轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。

(1)当 时，求点A的坐标及BC的长;

(2)当 时，连结CA，问 为何值时CA⊥CP?

(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在 ，使得点E落在坐标轴上?若存在，求出所有满足要求的 的值，并写出相对应的点E坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)当m=3时，y=-x2+6x。

令y=0得-x2+6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A(6，0)。

当x=1时，y=5。∴B(1，5)。

∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。

(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。

又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。

∴ 。

∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m>1，且B，C关于对称轴对称，

∴BC=2(m-1)。

∵B(1，2m-1)，P(1，m)，∴BP=m-1。

又∵A(2m，0)，C(2m-1，2m-1)，∴H(2m-1，0)。

∴AH=1，CH=2m-1，

∴ ，解得m= 。

(3)存在。∵B，C不重合，∴m≠1。

(I)当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1，

(i)若点E在x轴上(如图1)，

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。

∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2。

此时点E的坐标是(2，0)。

(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N，

易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m-1=1，解得，m=2。

此时点E的坐标是(0，4)。

(II)当0

(i)若点E在x轴上(如图3)，

易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2(1-m)=m，解得，m= 。

此时点E的坐标是( ，0)。

(ii)若点E在y轴上(如图4)，

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即1-m=1，∴m=0(舍去)。

综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，

当m= 时，点E的坐标是( ，0)。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。

(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明

△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。

(3)存在。本题要分当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1和当0

15. (2012浙江义乌8分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= .

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