2016年浙江省中考数学函数的图象与性质试题分类解析

(1)求边AB的长;

(2)求反比例函数的解析式和n的值;

(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长.

【答案】解：(1)∵点E(4，n)在边AB上，∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2。

(2)由(1)，可得点B的坐标为(4，2)，

∵点D为OB的中点，∴点D(2，1)。

∵点D在反比例函数 (k≠0)的图象上，∴ ，解得k=2。

∴反比例函数解析式为 。

又∵点E(4，n)在反比例函数图象上，∴ 。

(3)如图，设点F(a，2)，

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴ ，解得a=1。∴CF=1。

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=(2﹣t)2+12，

解得t= ，∴OG=t= 。

【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠对称的性质，勾股定理。

【分析】(1)由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA= 即可求出AB的长度;

(2)根据(1)求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值。

(3)利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度。

16. (2012浙江义乌10分)周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;

(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?

(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程.

【答案】解：(1)由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20(km/ h)。

在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5(h)。

(2)妈妈驾车速度：20×3=60(km/h)

如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，

把点B(1，10)代入得b1=﹣10。

∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①。

设直线DE解析式为y=60x+b2，

把点D( ，0)代入得b2=﹣80。

∴直线DE解析式为y=60x﹣80②。

联立①②，得x=1.75，y=25。

∴交点F(1.75，25)。

答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25km。

17. (2012浙江义乌12分)如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3，6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

【答案】解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得;6=3k，即k=2。

∴y=2x。

∴ 。

(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 。

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴ 。

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。

∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。

(3)如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC= 。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴ 。∴OF= 。

∴点F( ，0)。

设点B(x， )，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。

∴ ，即 。

解得x1=6，x2=3(舍去)。∴点B(6，2)。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。

设OE=x，则AE= ﹣x ( )，

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