中考数学阅读理解型问题试题(附答案)

【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的结果是 ，即 = ;

又∵ ， ，………，

∴ = + +…+ =1- ，

∴ = = + +…+ =1- = .

【答案】

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律.

23. (2012浙江省嘉兴市，23，12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ =θ, ,我们将这种变换记为.

(1)如图①,对△ABC作变换得△AB′ C′ ,则 : =_______;直线BC与

直线B′C′所夹的锐角为_______度;

(2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换得△AB′ C′ ,使

点B、C、 在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;

(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换得△AB′C′ ,

使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.

【解析】(1) 由题意知, θ为旋转角, n为位似比.由变换和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得 : = 3, 直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°;

(2)由已知条件得θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=60°.由直角三角形中, 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n= =2.

(3) 由已知条件得θ=∠CAC′=∠ACB=72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性质求得n= = .

【答案】(1) 3;60°.

(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°.

∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°.

在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°, ∠BAB′=60°,

∴n= =2.

(3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC=36°

∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°

∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°,而∠B=∠B,

∴△ABC∽△B′BA,∴AB2=CB•B′B=CB•(BC+CB′),

而CB′=AC=AB=B′C′, BC=1, ∴AB2=1•(1+AB)

∴AB= ,∵AB>0,

∴n= = .

【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.

本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.

27.(2011江苏省无锡市，27，8′)

对于平面直角坐标系中的任意两点 ,我们把 叫做 两点间的直角距离，记作 .

(1)已知O为坐标原点，动点 满足 =1，请写出 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形;

(2)设 是一定点， 是直线 上的动点，我们把 的最小值叫做 到直线 的直角距离，试求点M(2,1)到直线 的直角距离。

【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。(1)已知O(0,0)和 利用定义可知

= ;(2)由 = ，

则 利用绝对值的几何意义可以求出点M(2,1)到直线 的直角距离为3.

【答案】解：(1)有题意，得 ，

所有符合条件的点P组成的图形如图所示。

(2)∵

∴x可取一切实数， 表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.

∴M(2,1)到直线 的直角距离为3.

【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。这是中考的发展的大趋势。

27.(2012江苏盐城，27，12分)知识迁移

当a>0且x>0时，因为( )2≥0，所以x-2 + ≥0，从而x+ ≥2 (当x=2 时取等号).记函数y= x+ ( a>0,x>0),由上述结论可知：当x=2 时，该函数有最小值为2 .

直接应用

已知函数y1=x(x>0)与函数y2= (x>0),则当x= 时，y1+y2取得最小值为 .

变形应用

已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=(x+1)2+4(x>-1),求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值.

实际应用

已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元;二是燃油费，每千米1.6元;三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设汽车一次运输路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?

【解析】本题考查了函数等知识.掌握和理解阅读材料是解题的关键.(1)通过阅读发现x+ ≥2 (当x=2 时取等号).然后运用结论解决问题;

(2)构造x+ ≥2 ，运用结论解决.

(3)解决实际问题.

【答案】直接应用1,2

变形应用 = ≥4，所以 的最小值是4，此时x+1= ,(x+1)2=4，

x=1.

实际应用

设该汽车平均每千米的运输成本为y，则y=360+1.6x+0.01x2，当x=8时，y有最小值，最低运输成本是424(元).

【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大(小)值时，要运用配方法得到函数的最小值.

24.(2012四川省资阳市，24，9分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点 ，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP.

(1)(3分)BD=DC吗?说明理由;

(2)(3分)求∠BOP的度数;

(3)(3分)求证：CP是⊙O的切线;

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目.在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”;小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”.

【解析】(1)连接AD，由∵AB是直径得∠ADB=90°及等腰三角形的三线合一性质得出BD=DC

(2)由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE，得BD=DE，得出∠DEC=∠DCE=75°，所以∠EDC=30°，BP∥DE，∴∠PBD=∠EDC=300，∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°，∴∠BOP=90°

(3)要证CP是⊙O的切线即证OP⊥CP，在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴ 又∵ ，∴ ，∴ 又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG得∠GPC=∠AOG=90°得证结论成立.

【答案】(1)BD=DC……………………………………1分

连结AD，∵AB是直径,∴∠ADB=90°……………………………………………2分

∵AB=AC，∴BD=DC……………………………………………………………3分

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