高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程

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本文题目：高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程

第九章　圆锥曲线与方程

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1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;

3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质;

4.了解圆锥曲线的简单应用;

5.理解数形结合的思想;

6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 　　本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.

本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系. 　　圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.

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9.1　椭　圆

典例精析

题型一　求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和

253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.

【解析】由椭圆的定义知，2a=453+253=25，故a=5，

由勾股定理得，(453)2-(253)2=4c2，所以c2=53，b2=a2-c2=103，

故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1.

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n);

(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　.

【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(-2,2)，B(-2，0)，C(0，6)，D(2，-22)，E(22，2)，F(3，-23).

通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.

显然半焦距b=6，则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1，则将点

A(-2,2)代入可得m=12，故该椭圆的方程是x212+y26=1.

方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.

不妨设有两点y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2，

则可知B(-2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.

而D(2，-22)，F(3，-23)正好符合.

又因为椭圆的交点在x轴上，故B(-2，0)，C(0，6)不 可能同时出现.故选用A(-2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212+y26=1.

题型二　椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.

(1)求椭圆离心率的范围;

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，

由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60°，

因为m+n=2a，所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn，

所以4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.

又mn≤(m+n2)2=a2(当且仅当m=n时取等号)，

所以4a2-4c2≤3a2，所以c2a2≥14，

即e≥12，所以e的取值范围是[12，1).

(2)由(1)知mn=43b2，所以 =12mnsin 60°=33b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴 长有关.

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用;求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|•|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2，|PF1|≥a-c.

【变式训练2】已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，Q，R分别是圆(x+4)2+y2=14和圆

(x-4)2+y2=14上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是　　　　.

【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，

则|PQ|+|PR|≥(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9.

所以|PQ|+|PR|的最小值为9.

题型三　有关椭圆的综合问题

【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且 |AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率;

(2)设点P(0，-1)满足|PA|=|PB|，求E的方程.

【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，

又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43a.

l的方程为y=x+c，其中c=a2-b2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0，

则x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.

因为直线AB斜率为1，所以|AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]，

即43a=4ab2a2+b2，故a2=2b2，

所以E的离心率e=ca=a2-b2a=22.

(2 )设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，y0=x0+c=c3.

由|PA|=|PB|⇒kPN=-1，即y0+1x0=-1⇒c=3.

从而a=32，b=3，故E的方程为x218+y29=1.

【变式训练3】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|=e，则e的值是(　　)

A.32 B.33 C.22 D.63

【解析】设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x=-a2c，抛物线准线为x=

-3c，x0-(-a2c)=x0-(-3c)⇒c2a2=13⇒e=33.故选B.

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)求解.

2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.

9.2　双曲线

典例精析

题型一　双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A：(x+4)2+y2=2外切，与圆B：( x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.

【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|=r+2，|BE|=r-2，

所以|AE|-|BE|=22，又A(-4,0)，B(4,0)，所以|AB|=8,22<|AB|.

根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.

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