高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程

通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ=0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.

3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法;使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.

9.5　圆锥曲线综合问题

典例精析

题型一　求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.

(1)求证：l1⊥l2;

(2)求点M的轨迹方程.

【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+12.

联立 消去y整理得x2-2kx-1=0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2=-1，将抛物线方程改写为y=12x2，求导得y′=x.

所以过点A的切线l1的斜率是k1=x1，过点B的切线l2的斜率是k2=x2.

因为k1k2 =x1x2=-1，所以l1⊥l2.

(2)直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1)，即y-x212=x1(x-x1).

同理直线l2的方程为y-x222=x2(x-x2).

联立这两个方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1)，

整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0，

注意到x1≠x2，所以x=x1+x22.

此时y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.

由(1)知x1+x2=2k，所以x=x1+x22=k∈R.

所以点M的轨迹方程是y=-12.

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.x29-y216=1 B.x216-y29=1

C.x29-y216=1(x>3) D.x216-y29=1(x>4)

【解析】如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，

所以|CA|-|CB|=8-2=6，

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y216=1(x>3)，故选C.

题型二　圆锥曲线的有关最值

【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值.

【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

于是可设直线AC的方程为y=-x+n.

由 得4x2-6nx+3n2-4=0.

因为A，C在椭圆上，所以Δ=-12n2+64>0，解得-433

设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=3n2，x1x2=3n2-44，

y1=-x1+n，y2=-x2+n. 所以y1+y2=n2.

因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|.

所以菱形ABCD的面积S=32|AC|2.

又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，所以S=34(-3n2+16) (-433

所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.

【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.

【变式训练2】已知抛物线y=x2-1上有一定点B(-1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是　　　　　　.

【解析】如图，B(-1,0)，设P(xP，x2P-1)，Q(xQ，x2Q-1)，

由kBP•kPQ=-1，得x2P-1xP+1•x2Q-x2PxQ-xP=-1.

所以xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1.

因为|xP-1+1xP-1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤-3.

题型三　求参数的取值范围及最值的综合题

【例3】(2010浙江)已知m>1，直线l：x-my-m22=0，椭圆C：x2m2+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.

(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程;

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为直线l：x-my-m22=0经过F2(m2-1，0)，

所以m2-1=m22，解得m2=2，

又因为m>1，所以m=2.

故直线l的方程为x-2y-1=0.

(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由 消去x得2y2+my+m24-1=0，

则由Δ=m2-8(m24-1)=-m2+8>0知m2<8，

且有y1+y2=-m2，y1y2=m28-12.

由于F1(-c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，

由 =2 ， =2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，

|GH|2=(x1-x2)29+(y1-y2)29.

设M是GH的中点，则M(x1+x26，y1+y26)，

由题意可知，2|MO|<|GH|，即4[(x1+x26)2+(y1+y26)2]<(x1-x2)29+(y1-y2)29，

即x1x2+y1y2<0.

而x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12).

所以m28-12<0，即m2<4.

又因为m>1且Δ>0，所以1

所以m的取值范围是(1,2).

【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

【变式训练3】若双曲线x2-ay2=1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为　　　.

【解析】设B(m，m2-1a)，则C(m，-m2-1a)(m>1)，

又A(1,0)，由AB=BC得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2，

所以a=3m+1m-1=3(1+2m-1)>3，即a的取值范围为(3，+∞).

总结提高

1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.

2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.

3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.

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