高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程

因为a=2，c=4，所以b2=c2-a2=14，

故点E的轨迹方程是x22-y214=1(x≥2).

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和

(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】选D.

题型二　双曲线几何性质的运用

【例2】双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使 =0，求此双曲线离心率的取值范围.

【解析】设P(x，y)，则由 =0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，

即 (x-3a2)2+y2=(a2)2，①

又P在双曲线上，得x2a2-y2b2=1，②

由①②消去y，得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0，

即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0，

当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去;

当x=2a3-ab2a2+b2时，满足题意的点P存在，需x=2a3-ab2a2+b2>a，

化简得a2>2b2，即3a2>2c2，ca<62，

所以离心率的取值范围是(1，62).

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)

A.k2-e2>1 B.k2-e2<1

C.e2-k2>1 D.e2-k2<1

【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足-ba

题型三　有关双曲线的综合问题

【例3】(2010广东)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;

(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.

【解析】(1)由题意知|x1|>2，A1(-2，0)，A2(2，0)，则有

直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2)，①

直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).②

方法一：联立①②解得交点坐标为x=2x1，y=2y1x1，即x1=2x，y1=2yx，③

则x≠0，|x|<2.

而点P(x1，y1)在双曲线x22-y2=1上，所以x212-y21=1.

将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1，x≠0且x≠±2.

方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2=-y21x21-2(x2-2).③

又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212-y21=1，即y21=x212-1.

代入③式整理得x22+y2=1.

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x+2y-2=0.

解方程组 得x=2，y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，-1).

综上分析，轨迹E的方程为x22+y2=1，x≠0且x≠±2.

(2)设过点H(0，h)的直线为y=kx+h(h>1)，

联立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0，得h2-1-2k2=0，

解得k1=h2-12，k2=-h2-12.

由于l1⊥l2，则k1k2=-h2-12=-1，故h=3.

过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(-h2)=-1，得h=2.

此时，l1，l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2，

它们与轨迹E分别仅有一个交点(-23，223)与(23，223).

所以，符合条件的h的值为3或2.

【变式训练3】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于(　　)

A.1+22 B.3+22

C.4-22 D.5-22

【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.

据题意设|AF1|=x，则|AB|=x，|BF1|=2x.

由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a

⇒(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a，即x=22a=|AF1|.

故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.

又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a，即4c2-8a2=22-2a，

两边平方整理得c2=a2(5-22)⇒c2a2=e2=5-22，故选D.

总结提高

1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.

2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时，P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当

||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时，P无轨迹.

3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：

(1)已知双曲线方程，求它的渐近线;

(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=±bax，可将双曲线方程设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.

9.3　抛物线

典例精析

题型一　抛物线定义的运用

【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.

(1)抛物线过点P(2，-4);

(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.

【解析】(1)设方程为y2=mx或x2=ny.

将点P坐标代入得y2=8x或x2=-y.

(2)设A(m，-3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2=2px(p≠0)，

由定义得5=|AF|=|m+p2|，又(-3)2=2pm，所以p=±1或±9，

所求方程为y2=±2x或y2=±18x.

【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点，另一点A(a,0) (a>0)满足|P A|=d，试求d的最小值.

【解析】设P(x0，y0) (x0≥0)，则y20=2x0，

所以d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.

因为a>0，x0≥0，

所以当0

当a≥1时，此时有x0=a-1，dmin=2a-1.

题型二　直线与抛物线位置讨论

【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m，对 于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 <0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.

【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：

(x-1)2+y2-x=1(x>0).

化简得y2=4x(x>0).

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

设l的方程为x=ty+m，由 得y2-4ty-4m=0，

Δ=16(t2+m)>0，于是 ①

又 =(x1-1，y1)， =(x2-1，y2).

<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

又x=y24，于是不等式②等价于 y214•y224+y1y2-(y214+y224)+1<0

⇔(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③

由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-22

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 • <0，且m的取值范围是(3-22，3+22).

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