高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程

【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1+1y2=　　　.

【解析】 ⇒y2-4my+8m=0，

所以1y1+1y2=y1+y2y1y2=12.

题型三　有关抛物线的综合问题

【例3】已知抛物线C：y =2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交 C于点N.

(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行;

(2)是否存在实数k使 • =0?若存在，求k的值;若不存在，说明理由.

【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，

把y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0，

由韦达定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，

所以xN=xM=x1+x22=k4，所以点N的坐标为(k4，k28).

设抛物线在点N处的切线l的方程为y-k28=m(x-k4)，

将y=2x2代入上式，得2x2-mx+mk4 -k28=0，

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，

所以m=k，即l∥AB.

(2)假设存在实数k，使 • =0，则NA⊥NB，

又因为M是AB的中点，所以|MN|= |AB|.

由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2.

因为MN⊥x轴，所以|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168.

又|AB|=1+k2•|x1-x2|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2

=1+k2•(k2)2-4×(-1)=12k2+1•k2+16.

所以k2+168=14k2+1•k2+16，解得k=±2.

即存在k=±2，使 • =0.

【点拨】直线与抛 物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系;有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.

【变式训练3】已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是　　　　.

【解析】455.

总结提高

1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.

2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.

3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.

4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|=x1+x2+p或|AB|=2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=p24等.

9.4　直线与圆锥曲线的位置关系

典例精析

题型一　直线与圆锥曲线交点问题

【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值.

【解析】联立方程组

(1)当a=0时，方程组恰有一组解为

(2)当a≠0时，消去x得a+1ay2-y-1=0，

①若a+1a=0，即a=-1，方程变为一元一次方程-y-1=0，

方程组恰有一组解

②若a+1a≠0，即a≠-1，令Δ=0，即1+4(a+1)a=0，解得a= -45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.

综上所述，a=0或a=-1或a=-45.

【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 =0，即a=-1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a=0时，曲线y2=ax，即直线y=0，此时与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时，直线y=-1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);③当a=-45时直线与抛物线相切.

【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(　　)

A.{1，-1，52，-52} B.(-∞，-52]∪[52，+∞)

C.(-∞，-1]∪[1，+∞) D.(-∞，-1)∪[52，+∞)

【解析】由 ⇒(1-k2)x2-2kx-5=0，

⇒k=±52，结合直线过定点(0，-1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.

题型二　直线与圆锥曲线的相交弦问题

【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°， =2 .

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.

(1)直线l的方程为y=3(x-c)，其中c=a2-b2.

联立

得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.

解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2，y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.

因为 =2 ，所以-y1=2y2，即3b2(c+2a)3a2+b2=2•-3b2(c-2a)3a2+b2.

解得离心率e=ca=23.

(2)因为|AB|=1+13|y2-y1|，所以23•43ab23a2+b2=154.

由ca=23得b=53a，所以54a=154，即a=3，b=5.

所以椭圆的方程为x29+y25=1.

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.

【变式训练2】椭圆ax2+ by2=1与直线y=1-x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为　　　.

【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0⇒

2ax0+2by0y1-y2x1-x2=0⇒ax0-by0=0.

故ab=y0x0=32.

题型三　对称问题

【例3】在抛物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线l：y=kx+3对称，求k的取值范围.

【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.

设直线AB的方程为y=-1kx+b，

联立 消去x，得14ky2+y-b=0，

由题意有Δ=12+4•14k•b>0，即bk+1>0.(*)

且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1k•x1+x22+b.所以x1+x22=k(2k+b).

故AB的中点为E(k(2k+b)，-2k).

因为l过E，所以-2k=k2(2k+b)+3，即b=-2k-3k2-2k.

代入(*)式，得-2k-3k3-2+1>0⇔k3+2k+3k3<0

⇔k(k+1)(k2-k+3)<0⇔-1

【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂 直，且线段AB的中点坐标满足l的方程;

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.

【变式训练3】已知抛物线y=-x2+3上存在关于x+y=0对称的两点A，B，则|AB|等于(　　)

A.3 B.4 C.32 D.42

【解析】设AB方程：y=x+b，代入y=-x2+3，得x2+x+b-3=0，

所以xA+xB=-1，故AB中点为(-12，-12+b).

它又在x+y=0上，所以b=1，所以|AB|=32，故选C.

总结提高

1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组

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