高三数学理科教案：数学排列组合总复习教学案

12.2　排列与组合

典例精析

题型一　排列数与组合数的计算

【例1】 计算：(1)8!+A66A28-A410;(2) C33+C34+…+C310.

【解析】(1)原式=8×7×6×5×4×3×2×1+6×5×4×3×2×18×7-10×9×8×7=57×6×5×4×3×256×(-89)=-5 130623.

(2)原式=C44+C34+C35+…+C310=C45+C35+…+C310=C46+C36+…+C310=C411=330.

【点拨】在使用排列数公式Amn=n!(n-m)!进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.

【变式训练1】解不等式 >6 .

【解析】原不等式即9!(9-x)!>6×9!(11-x)!，

也就是1(9-x)!> ，

化简得x2-21x+104>0，

解得x<8或x>13，又因为2≤x≤9，且x∈N*，

所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.

题型二　有限制条件的排列问题

【例2】 3男3女共6个同学排成一行.

(1)女生都排在一起，有多少种排法?

(2)女生与男生相间，有多少种排法?

(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法?

(4)3名男生不排在一起，有多少种排法?

(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法?

【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部可有A33种排法，所以共有A44•A33=144种排法.

(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33•A33=72种排法.

(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33•A34=144种.

(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66-A33A44=576种.

(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙之间还有A22种排法.这样就有A23•A22种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22=24种.

【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.

【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.

(1)43 251是这个数列的第几项?

(2)这个数列的第97项是多少?

【解析】(1)不大于43 251的五位数A55-(A44+A33+A22)=88个，即为此数列的第88项.

(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有A44=24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51 234.

题型三　有限制条件的组合问题

【例3】 要从12人中选出5人去参加一项活动.

(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法?

(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法?

(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法?

(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法?

(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法?

【解析】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，C29=36种不同选法.

(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有C59=C49=126种选法.

(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选 法，所以共有C13•C49=378种选法.

(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59，共有C512-C59=666种选法.

(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况C29种，所以共有C512-C29=756种选法.

【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.

【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.

(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法?

(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法?

【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4C46种;第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种;第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C23=3种.故有69种.

(2)用间接法.共C410-69=141种.

总结提高

解有条件限制的排列与组合问题的思路：

(1)正确选择原理，确定分类或分步计数;

(2)特殊元素、特殊位置优先考虑;

(3)再考虑其余元素或其余位置.

12.3 二项式定理

典例精析

题型一　二项展开式的通项公式及应用

【例1】 已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)求证：展开式中没有常数项;

(2)求展开式中所有的有理项.

【解析】由题意得2C1n• =1+C2n•( )2，

即n2-9n+8=0，所以n=8，n=1(舍去).

所以Tr+1= •( ) •

=(- )r• • •

=(-1)r• • (0≤r≤8，r∈Z).

(1)若Tr+1是常数项，则16-3r4=0，即16-3r=0，

因为r∈Z，这不可能，所以展开式中没有常数项.

(2)若Tr+1是有理项，当且仅当16-3r4为整数，

又0≤r≤8，r∈Z，所以 r=0,4,8，

即展开式中有三项有理项，分别是T1=x4，T5=358 x，T9=1256 x-2.

【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质;

(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系);

(3) 注意区分展开式“第r+1项的二项式系数”与“第r+1项的系数”.

【变式训练1】若(xx+ )n的展开式的前3项系数和为129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项?如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.

【解析】由题知C0n+C1n•2+C2n•22=129，

所以n=8，所以通项为Tr+1=Cr8(xx)8-r = ，

故r=6时，T7=26C28x=1 792x，

所以不存在常数项，而存在一次项，为1 792x.

题型二　运用赋值法求值

【例2】(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a1+a2+…+an-1=29-n，则n=　　;

(2)已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若5a1+2a2=0，则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=　　.

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