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高三数学理科教案:数学排列组合总复习教学案
[10-15 23:11:15] 来源:http://www.xiaozhibei.com 高三数学教案 阅读:9286次D(ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.
(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
所以 或
题型二 期望与方差在风险决策中的应用
【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ、η,ξ和η的分布列如下:
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【解析】工人甲生产出的次品数ξ的期望和方差分别为:
E(ξ)=0×610+1×110+2×310=0.7,
D(ξ)=(0-0.7)2×610+(1-0.7)2×110+(2-0.7)2×310=0.81.
工人乙生产出的次品数η的期望和方差分别为:
E(η)=0×510+1×310+2×210=0.7,D(η)=(0-0.7)2×510+(1-0.7)2×310+(2-0.7)2×210=0.61.
由E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D(ξ)>D(η),可见乙的技术比较稳定.
【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.
【变式训练2】利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是 .
【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是:
50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;
70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;
-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;
98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.故选A3.
题型三 离散型随机变量分布列综合问题
【例3】(2010浙江)如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A,B,C,则分别设为1,2,3等奖.
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ);
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次,求P(η=2).
【解析】(1)由题意得ξ的分布列为
ξ 50% 70% 90%
p
则E(ξ)=316×50%+38×70%+716×90%=34.
(2)由(1)可知,获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916.由题意得η~(3,916),则P(η=2)=C23(916)2(1-916)=1 7014 096.
【变式训练3】(2010北京市东城区)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为127.
(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;
(2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ).
【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币,正面朝上的概率为P,依题意有C33•P3=127,解得
P=13.
所以抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为P3(2)=C23×(13)2×23=29.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ=0)=C03×(23)3×12=427;
P(ξ=1)=C03×(23)3×12+C13×13×(23)2×12=1027;
P(ξ=2)=C13×13×(23)2×12+C23×(13)2×23×12=13;
P(ξ=3)=C23×(13)2×23×12+C33×(13)3×12=754;
P(ξ=4)=C33×(13)3×12=154.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=0×427+1×1027+2×13+3×754+4×154=32.
总结提高
1.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均; E(ξ)是一个实数,由ξ的分布列唯一确定,即作为随机变量ξ是可变的,可取不同值,而E(ξ)是不变的,它描述ξ取值的平均状态.
2.方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度,统计中常用标准差D(ξ)描述ξ的分散程度.
12.11 正态分布
典例精析
题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为122π,求总体位于区间[-4,-2]的概率.
【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ=0,由最大值为122π知σ=2,
所以P(-2≤x≤2)=P(μ-σ≤x≤μ+σ)=0.682 6,
P(-4≤x≤4)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)=0.954 4,
所以P(-4≤x≤-2)=12×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.
【点拨】应当熟记:
P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.682 6;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 4;
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997 4.
【变式训练1】设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1
(2)P(X≥5).
【解析】因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.
(1)P(-1
(2)因为P(X≥5)=P(X≤-3),
所以P(X≥5)=12[1-P(-3
=12[1-P(1-4
=12[1-P(μ-2σ
=12(1-0.954 4)=0.022 8.
题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率
【例2】 已知某地区数学考试的成绩X~N(60,82)(单位:分),此次考生共有1万人,估计在60分到68分之间约有多少人?
【解析】由题意μ=60,σ=8,
因为P(μ-σ
所以P(52
又此正态曲线关于x=60对称,
所以P(60
从而估计在60分到68分之间约有341 3人.
【点拨】本题是教材变式题,将原题中单纯(μ-σ,μ+σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义,使题目更具实际意义.另外,还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.
【变式训练2】某人乘车从A地到B地,所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.
【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σ
总结提高
1.服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布,则X在一点上的取值概率为0,即P(X=a)=0,而{X=a}并不是不可能事件,所以概率为0的事件不一定是不可能事件,从而P(X
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.
②P(X
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