高三数学理科教案：数学排列组合总复习教学案

当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件 的概率则要容易些，为此有P(A)=1-P( ).

2.若A与B互相独立，则 与 ，A与 ， 与B都是相互独立事件.判断A与B是否独立的方法是看P(AB)=P(A)•P(B)是否成立.

12.5　古典概型

典例精析

题型一　古典概率模型的计算问题

【例1】一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)，

轿车A 轿车B 轿车C

舒适型 100 150 z

标准型 300 450 600

现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆.

(1)求z的值;

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率;

(3)用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,

9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为140，从而轿车的总数为50×40=2 000辆，所以z=2 000-100-150-300-450-600=400.

(2)由(1)知C类轿车共1 000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为1200，即5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n=10种不同取法，记事件A：至少有1辆舒适型轿车，则事件 表示抽取到2辆标准型轿车，有m′=3种不同取法，从而事件A包含：基本事件数为m=7种，所以P(A)=710.

(3)样本平均数 =18×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0，记事件B：从样本中任取一数，该数与样本平均数的绝对值不超过0.5，则事件B包含的基本事件有6种，所以P(B)=68=34.

【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数.

【变式训练1】已知△ABC的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC是锐角三角形的概率.

【解析】依题意不妨设a=n-1，b=n，c=n+1(n>1，n∈N)，从而有a+b>c，即n>2，所以△ABC的最小边为2，要使△ABC是锐角三角形，只需△ABC的最大角C是锐角，cos C=(n-1)2+n2-(n+1)22(n-1)n=n-42(n-1)>0，所以n>4，

所以，要使△ABC是锐角三角形，△ABC的最小边为4.另一方面，从{2,3,4，…，9}中，“任取三个连续正整数”共有6种基本情况，“△ABC是锐角三角形”包含4种情况，故所求的概率为46=23.

题型二　有放回抽样与不放回抽样

【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.

(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率;

(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.

【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83 种，因此，P(A)= =0.512.

(2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x，y，z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336， 所以P(B)=336720≈0.467.

方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120.按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)=56120≈0.467.

【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.

【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：

(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率;

(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.

【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概率为P=410=25;

(2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P=525=15.

题型三　古典概型问题的综合应用

【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.

(1)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率;

(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n.

【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，

P(A)=C22C24•C22C25=16×110=160.

(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.

由题意，得P(B)=1-34=14.

P(B1)=C12C12C24•C2nC2n+2+C22C24•C12C1nC2n+2=2n23(n+2)(n+1)，

P(B2)=C22C24•C2nC2n+2=n(n-1)6(n+2)(n+1).

所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14，化简得7n2-11n-6=0，解得n=2或n=-37(舍去)，故n=2.

【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.

(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少?

【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C16个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是C 14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为C16×C14=24.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有C110×C19=90，

所以概率为2490=415.

(2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90.

方法一：(分类计数原理)

①只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24;

②只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24;

③甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30.

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24+24+3090=1315.

方法二：(利用对立事件)

事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件.

事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12.

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1-1290=1-215=1315.

总结提高

1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个;②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)=mn得出的结果才是正确的.使用公式P(A)=mn计算时，确定m、n的数值是关键所在.

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