高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

(2)若 = ( )且 试求点M的轨迹方程。

(1)证明：设 ，由 得

，又

， ，即A,B,C三点共线。

(2)由(1)知直线AB过定点C，又由 及 = ( )知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2¬=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2¬=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析：(1)A在抛物线外，如图，连PF，则 ，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

(2)B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：(1)(2， )(2)( )

1、已知椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C2的方程;

(2) 若直线l： 与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足 (其中O为原点)，求k的取值范围。

解：(Ⅰ)设双曲线C2的方程为 ，则

故C2的方程为 (II)将

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

即 ①

.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得 ③

由①、②、③得

故k的取值范围为

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知( + )• =0,即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y= x -2. (Ⅱ)设P(x ,y )为曲线C：y= x -2上一点，因为y = x,所以 的斜率为 x 因此直线 的方程为 ，即 。

则O点到 的距离 .又 ，所以

当 =0时取等号，所以O点到 距离的最小值为2.

设双曲线 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )

设双曲线 的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ).

过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为

已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，其一条渐近线方程为 ，点 在双曲线上.则 • =( )0

已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则 ( )

已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是( )

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_____________.

椭圆 的焦点为 ，点P在椭圆上，若 ，则 ; 的大小为 .

过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________

【解析】设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又 解得:

双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去y,得 有唯一解,所以△= ,所以 ,

由渐近线方程为 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 ，于是两焦点坐标分别是(-2，0)和(2，0)，且 或 .不妨去 ，则 ， .

∴ • =

【解析】设抛物线 的准线为 直线

恒过定点P .如图过 分 别作 于 , 于 , 由 ,则 ,点B为AP的中点.连结 ,则 ,

点 的横坐标为 , 故点 的坐标为

, 故选D

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .

6. 若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .

7. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积为 .

8. 椭圆 (a>b>0)的焦半径公式：

, ( , ).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则 ，

即 。

12. 若 在椭圆 内，则被Po所平分的中点弦的方程是 .

13. 若 在椭圆 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 .

二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支;外切：P在左支)

5. 若 在双曲线 (a>0,b>0)上，则过 的双曲线的切线方程是 .

6. 若 在双曲线 (a>0,b>0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .

7. 双曲线 (a>0,b>o)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .

8. 双曲线 (a>0,b>o)的焦半径公式：( ,

当 在右支上时， , .

当 在左支上时， ,

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是双曲线 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则 ，即 。

12. 若 在双曲线 (a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是 .

13. 若 在双曲线 (a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 .

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

椭 圆

1. 椭圆 (a>b>o)的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .

2. 过椭圆 (a>0, b>0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 (常数).

3. 若P为椭圆 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则 .

4. 设椭圆 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记 , , ，则有 .

5. 若椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

6. P为椭圆 (a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 ,当且仅当 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是 .

8. 已知椭圆 (a>b>0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 .(1) ;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;(3) 的最小值是 .

9. 过椭圆 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .

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