高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

10. 已知椭圆 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则 .

11. 设P点是椭圆 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ，则(1) .(2) .

12. 设A、B是椭圆 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点， , , ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) .

13. 已知椭圆 ( a>b>0)的右准线 与x轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于A、B两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

1. 双曲线 (a>0,b>0)的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .

2. 过双曲线 (a>0,b>o)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且 (常数).

3. 若P为双曲线 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则 (或 ).

4. 设双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记 , , ，则有 .

5. 若双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1

6. P为双曲线 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 ,当且仅当 三点共线且 和 在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线 (a>0,b>0)与直线 有公共点的充要条件是 .

8. 已知双曲线 (b>a >0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 .

(1) ;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;(3) 的最小值是 .

9. 过双曲线 (a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .

10. 已知双曲线 (a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则 或 .

11. 设P点是双曲线 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ，则(1) .(2) .

12. 设A、B是双曲线 (a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点， , , ，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .

(2) .(3) .

13. 已知双曲线 (a>0,b>0)的右准线 与x轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于A、B两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。

3、知直线横截距 ，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)

与直线 垂直的直线可表示为 。

4、两平行线 间的距离为 。

5、若直线 与直线 平行

则 (斜率)且 (在 轴上截距) (充要条件)

6、圆的一般方程： ，特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆心为 ，半径为 的圆。二元二次方程 表示圆的充要条件是 且 且 。

7、圆的参数方程： ( 为参数)，其中圆心为 ，半径为 。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ;

8、 为直径端点的圆方程

切线长：过圆 ( )外一点 所引圆的切线的长为 ( )

9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解： ;②过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ，当 时，方程 为两圆公共弦所在直线方程.。

攻克圆锥曲线解答题的策略

摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。

关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练

第一、知识储备：

1. 直线方程的形式

(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

(2)与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率

②点到直线的距离 ③夹角公式：

(3)弦长公式

直线 上两点 间的距离：

或

(4)两条直线的位置关系

① =-1 ②

2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

标准方程：

距离式方程：

参数方程：

(2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

距离式方程：

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?

如：已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一个动点M满足 则动点M的轨迹是( )

A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式：

(其中 )

(6)、记住焦半径公式：(1) ，可简记为“左加右减，上加下减”。

(2)

(3)

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?

第二、方法储备

1、点差法(中点弦问题)

设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有

， ;两式相减得

=

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元••••••，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).

(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;

(2)若角A为 ，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为 可得出AB⊥AC，从而得 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;

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