高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

解：(1)设B( , ),C( , ),BC中点为( ),F(2,0)则有

两式作差有 (1)

F(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入(1)得

直线BC的方程为

2)由AB⊥AC得 (2)

设直线BC方程为 ，得

，

代入(2)式得

，解得 或

直线过定点(0， ，设D(x,y)，则 ，即

所以所求点D的轨迹方程是 。

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中 ，点E分有向线段 所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设C ，代入 ，求得 ，进而求得 再代入 ，建立目标函数 ，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对 可采取设而不求的解题策略,

建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.

解法一：如图，以AB为垂直平分线为 轴，直线AB为 轴，建立直角坐标系 ，则CD⊥ 轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于 轴对称

依题意，记A ，C ，E ，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得

，

设双曲线的方程为 ，则离心率

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 代入双曲线方程得

， ①

②

由①式得 ， ③

将③式代入②式，整理得

，

故

由题设 得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

分析：考虑 为焦半径,可用焦半径公式, 用 的横坐标表示，回避 的计算, 达到设而不求的解题策略.

解法二：建系同解法一， ，

，又 ，代入整理 ，由题设 得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

5、判别式法

例3已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点B的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与 平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . 由此出发，可设计如下解题思路：

解题过程略.

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：

简解：设点 为双曲线C上支上任一点，则点M到直线 的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于 的方程.

由于 ，所以 ，从而有

于是关于 的方程

由 可知：

方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等价于

.

由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C: 和点P(4，1)，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 的方程(不含k)，则可由 解得 ，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设 ，则由 可得： ，

解之得： (1)

设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得出关于 x的一元二次方程：

(2)

∴

代入(1)，化简得： (3)

与 联立，消去 得：

在(2)中，由 ，解得 ，结合(3)可求得

故知点Q的轨迹方程为： ( ).

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

6、求根公式法

例5设直线 过点P(0，3)，和椭圆 顺次交于A、B两点，试求 的取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程)，这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

简解1：当直线 垂直于x轴时，可求得 ;

当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得

解之得

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 的情形.

当 时， ， ，

所以 = = = .

由 , 解得 ，

所以 ，

综上 .

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.

简解2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得

(*)

则

令 ，则，

在(*)中，由判别式 可得 ，

从而有 ，所以 ，解得 .

结合 得 .

综上， .

点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

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