高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

例6椭圆长轴端点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 ， .

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心?若存在，求出直线 的方程;若不存在，请说明理由。

思维流程：

解题过程：

(Ⅰ)如图建系，设椭圆方程为 ,则

又∵ 即 ，∴

故椭圆方程为

(Ⅱ)假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为 的垂心，则

设 ，∵ ，故 ，

于是设直线 为 ，由 得，

∵ 又

得 即

由韦达定理得

解得 或 (舍) 经检验 符合条件.

点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.

例7、已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点.

(Ⅰ)求椭圆 的方程：

(Ⅱ)若点D为椭圆 上不同于 、 的任意一点， ，当Δ 内切圆的面积最大时，求Δ 内心的坐标;

思维流程：

(Ⅰ)

解题过程： (Ⅰ)设椭圆方程为 ，将 、 、 代入椭圆E的方程，得

解得 .∴椭圆 的方程 .

(Ⅱ) ，设Δ 边上的高为

当点 在椭圆的上顶点时， 最大为 ，所以 的最大值为 .

设Δ 的内切圆的半径为 ，因为Δ 的周长为定值6.所以，

所以 的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为 .

点石成金：

例8、已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于 两点.

(Ⅰ)若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程;

(Ⅱ)在 轴上是否存在点 ，使 为常数?若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.

思维流程：

(Ⅰ)解：依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，

将 代入 ， 消去 整理得

设

则

由线段 中点的横坐标是 ， 得 ，解得 ，符合题意。

所以直线 的方程为 ，或 .

(Ⅱ)解：假设在 轴上存在点 ，使 为常数.

① 当直线 与 轴不垂直时，由(Ⅰ)知

所以

将 代入，整理得

注意到 是与 无关的常数， 从而有 ， 此时

② 当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为 ，当 时， 亦有

综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数.

点石成金：

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，1)，平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0)， 交椭圆于A、B两个不同点。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)求m的取值范围;

(Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

思维流程：

解：(1)设椭圆方程为

则 ∴椭圆方程为

(Ⅱ)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又KOM=

由

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可

设

则

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

例10、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是

(1)求双曲线的方程;

(2)已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

思维流程：

解：∵(1) 原点到直线AB： 的距离 .

故所求双曲线方程为

(2)把 中消去y，整理得 .

设 的中点是 ，则

即

故所求k=± .

点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE⊥CD;

例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(II)若直线 y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.

思维流程：

解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 ，

由已知得： ，

椭圆的标准方程为 .

(II)设 .

联立

得 ，则

又 .

因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，

，即 . .

. .

解得： ，且均满足 .

当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾;

当 时， 的方程为 ，直线过定点 .

所以，直线 过定点，定点坐标为 .

点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;

例12、已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.

(Ⅰ)若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程;

(Ⅱ)若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

思维流程：

解：(Ⅰ)(法一)由题意知, , ,

, (1分)

解得 . 由双曲线定义得:

,

所求双曲线的方程为:

(法二) 因 ,由斜率之积为 ,可得解.

(Ⅱ)设 ,

(法一)设P的坐标为 , 由焦半径公式得 , , ，

的最大值为2,无最小值. 此时 ,

此时双曲线的渐进线方程为

(法二)设 , .

(1)当 时, ,

此时 .

(2)当 ,由余弦定理得:

,

, ,综上, 的最大值为2,但 无最小值. (以下法一)

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